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Integritätsring


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In der Algebra ist ein Integritätsring oder Integritätsbereich ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit 1≠0. Integritätsringe sind Verallgemeinerungen der ganzen Zahlen und bilden den allgemeinsten Rahmen für Untersuchung von Teilbarkeiten.

Alternativ kann man einen Integritätsring definieren einen kommutativen Ring mit 1 in dem Nullideal {0} ein Primideal ist oder als einen Teilring eines Körpers .

Inhaltsverzeichnis

Beispiele

Das bekannteste Beispiel ist der Ring Z der ganzen Zahlen.

Jeder Körper ist ein Integritätsring. Umgekehrt jeder artinsche Integritätsring ein Körper. Insbesondere ist endliche Integritätsring ein endlicher Körper .

Ein Polynomring ist ein Integritätsring wenn die Koeffizienten einem Integritätsring stammen. Zum Beispiel ist der Z [X] der Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten ein Integritätsring ebenso der Ring R [X Y] der Polynome in zwei Variablen R .

Der Ring aller reellen Zahlen der a + b √2 mit ganzen Zahlen a b ist ein Integritätsring da er Teilring R ist.

Ist U ein Gebiet (eine zusammenhängende offene Teilmenge) in C dann ist der Ring H( U ) der holomorphen Funktionen f : U -> C ein Integritätsring.

Ist R ein kommutativer Ring und P ein Primideal in R dann ist der Faktorring R / P ein Integritätsring.

Der Restklassenring Z /n Z ist genau dann ein Integritätsring wenn n eine Primzahl ist.

Teilbarkeit Primelemente Irreduzibilität

Sind a und b Elemente des Integritätsrings R dann sagt man a teilt b oder a ist ein Teiler von b oder b ist ein Vielfaches von a wenn es ein Element x in R gibt so dass ax = b . Man schreibt dann a | b .

  • Gilt a | b und b | c dann folgt daraus a | c .
  • Gilt a | b dann gilt auch a | bc für jedes c aus R insbesondere auch a | - b .
  • Gilt a | b und a | c dann gilt auch a | b + c und a | b - c .

Die Ringelemente die Teiler der 1 heißen Einheiten von R . Sie sind genau die invertierbaren Elemente. teilen alle anderen Elemente. Gilt a | b und b | a dann heißen a und b zueinander assoziiert . a und b sind genau dann assoziiert wenn es Einheit u gibt so dass au = b .

Ist q keine Einheit dann heißt q irreduzibel falls q nicht als Produkt zweier Nicht-Einheiten darstellbar

Ist p eine Nicht-Einheit ungleich 0 dann heißt p prim (oder Primelement ) falls gilt: Aus p | ab folgt p | a oder p | b .

Ist p ein Primelement von R dann ist das Hauptideal ( p ) ein Primideal .

Jedes Primelement ist irreduzibel (für diese wird die Nullteilerfreiheit des Rings benötigt) aber immer ist jedes irreduzible Element prim (z.B. Ring Z [√-3] sind 2 1+√-3 und 1-√-3 irreduzibel nicht prim). In faktoriellen Ringen (engl. unique factorization domain UFD ) ist dagegen jedes irreduzible Element prim.

Der Begriff des Primelements verallgemeinert den der Primzahl . Primzahlen werden üblicherweise als irreduzible Elemente Z definiert was aber nichts ausmacht da Z jedes irreduzible Element prim ist.

siehe auch:

Teilbarkeit

Quotientenkörper

Ist R ein Integritätsring dann existiert ein kleinster Körper Quot( R ) der R als Teilring enthält. Quot( R ) ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt heißt Quotientenkörper von R . Seine Elemente haben die Form a / b mit a b in R b ungleich 0.

Der Quotientenkörper des Rings der ganzen Zahlen ist der Körper der rationalen Zahlen . Der Quotientenkörper eines Körpers ist der selbst.

Charakteristik

Die Charakteristik eines Integritätsrings ist entweder 0 oder Primzahl.

Ist R ein Integritätsring mit der Primzahl-Charakteristik p dann ist die Abbildung f (x) = x p ein injektiver Ringhomomorphismus f : R -> R und heißt Frobenius-Homomorphismus .



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