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Inverses Element


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In der Mathematik treten inverse Elemente bei der Untersuchung von algebraischen Strukturen mit zweistelligen Verknüpfungen auf.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Ist A eine Menge mit einer zweistelligen Verknüpfung * und einem neutralen Element e dann ist ein zu a aus A linksinverses Element ein Element b in A mit

b * a = e .
Ein zu a rechtsinverses Element ist ein b in A mit
a * b = e .
Ein zu a (beidseitig) inverses Element ist ein b in A mit
a * b = b * a = e .

Ist die Verknüpfung assoziativ und hat a aus A ein Linksinverses und ein Rechtsinverses dann diese überein und a hat ein eindeutig bestimmtes Inverses das als a -1 geschrieben wird.

Beispiele

Additiv Inverses

In den bekannten Zahlenmengen ( natürliche Zahlen rationale Zahlen usw.) hat man eine Addition mit neutralem Element 0. Das additiv einer Zahl a ist die Zahl die zu a addiert 0 ergibt also ihr Negatives - a .

Zum Beispiel ist -7 das additiv von 7 denn 7 + (-7) = = (-7) + 7. Das Negative von ist 7 aus demselben Grund also ist = 7. Das gilt allgemein.

Das additiv Inverse erhält man durch Multiplikation mit -1 d.h. - a = -1· a .

In Zahlenmengen mit additiv Inversen ist Subtraktion stets ausführbar. Solche Mengen sind z.B.

In anderen Zahlenmengen hat nicht jedes ein additiv Inverses. Solche sind z.B.

Man kann die ganzen Zahlen aus natürlichen Zahlen konstruieren indem man formal die Negativen hinzunimmt passende Rechenregeln definiert. So gesehen hat jede Zahl ein Negatives. Da dieses jedoch (außer 0) keine natürliche Zahl ist ist die der natürlichen Zahlen nicht abgeschlossen unter der Negation .

Multiplikativ Inverses

In den oben angesprochenen Zahlenmengen hat auch eine Multiplikation mit neutralem Element 1. multiplikativ Inverse einer Zahl a ist die Zahl die mit a multipliziert 1 ergibt. Es ist also Kehrwert von a .

Zum Beispiel ist der Kehrwert von die rationale Zahl 1/7; in den ganzen hat 7 jedoch kein multiplikativ Inverses.

Ist allgemein ein Ring R gegeben dann heißen die Elemente die Inverse haben Einheiten des Rings. In der Theorie der Teilbarkeit unterscheidet man meist nicht zwischen Ringelementen sich multiplikativ um eine Einheit unterscheiden (d.h. a = eb mit einer Einheit e ).

Umkehrfunktion

Betrachte die Menge A A aller Funktionen von einer Menge A nach A . Auf dieser Menge hat man die Komposition (Hintereinanderausführung) als Verknüpfung definiert durch ( f o g )( a ) := f ( g ( a )). Die Komposition ist assoziativ und hat identische Abbildung id A : A -> A als neutrales Element.

Ist nun eine Funktion f : A -> A bijektiv dann ist die Umkehrfunktion f -1 : A -> A das inverse Element von f in A A .

Man verallgemeinert diesen Begriff auf bijektive f : A -> B und erhält eine Umkehrfunktion f -1 : B -> A mit f o f -1 = id A und f -1 o f = id B .

Ist A ein Körper wie z.B. die reellen Zahlen dann darf man die Umkehrfunktion f -1 nicht mit dem Kehrwert 1/ f verwechseln! Die Umkehrfunktion ist nur definiert f bijektiv ist und der Kehrwert ist definiert wenn f keine Nullstellen hat. Selbst wenn f eine Teilmenge von R \{0} bijektiv auf sich abbildet stimmen Umkehrfunktion Kehrwert im allgemeinen nicht überein.

Zum Beispiel hat die Funktion f : R + -> R + f ( x ) = x ² eine Umkehrfunktion f -1 ( x ) = √ x und einen Kehrwert (1/ f )( x ) = 1/ x ² die jedoch nicht übereinstimmen. (Dabei ist R + = (0 ∞) die Menge der reellen Zahlen.)

Eigenschaften

Das Inverse des Inversen ist das Element: ( a -1 ) -1 = a .

Für eine allgemeine algebraische Struktur ( A *) mit neutralem Element kann es dass ein Element mehrere Linksinverse hat oder Rechtsinverse oder sogar mehrere Linksinverse und mehrere Ist jedoch die Verknüpfung * assoziativ dann Hat x sowohl ein Linksinverses als auch ein dann stimmen diese überein und x hat genau ein (beidseitiges) Inverses.

Ein Homomorphismus zwischen Ringen oder Körpern bildet Inverse stets auf Inverse ab

f ( x -1 ) = ( f ( x )) -1 .
(Man beachte wieder den Unterschied zu f -1 ( x ) dem Urbild von x !)



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