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Isomorphismus


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In der Mathematik ist ein Isomorphismus eine Abbildung zwischen zwei mathematischen Strukturen die Teile der einen Struktur auf "bedeutungsgleiche" der anderen Struktur umkehrbar eindeutig (auch bijektiv genannt) abgebildet werden.

Definition

Eine Funktion f zwischen zwei Strukturen heißt Isomorphismus wenn:

Gibt es einen Isomorphismus zwischen zwei dann heißen die beiden Strukturen zueinander isomorph . Isomorphe Strukturen sind in gewisser Weise nämlich dann wenn man von der Darstellung Elemente der zugrundeliegenden Mengen und den Namen Relationen und Verknüpfungen absieht.

Man beachte dass bei Gruppen Ringen Körpern Vektorräumen und einigen anderen Strukturen die dritte aus den anderen beiden folgt man im jedoch nicht auf sie verzichten kann was Artikel Homöomorphismus an einem Beispiel gezeigt wird.

Oft kann man bestimmte Strukturen nur auf Isomorphie eindeutig bestimmen wie z.B.


Isomorphismen werden in der Mathematik gern um einen leichteren Rechenweg zu beschreiten. Durch oben genannten Definitionen (bijektiv) ist dies möglich.

zB.: Laplacetransformation; s-Transformation

Beispiele

Sind ( X *) und ( Y +) Mengen mit einer binären Verknüpfung ist ein Isomorphismus von X nach Y eine Bijektion f : X -> Y mit

f ( u ) + f ( v ) = f ( u * v )

für alle u v in X .

zB.: log(5) - log(2) = log(5 / 2)

Sind die Strukturen Gruppen dann heißt ein solcher Isomorphismus Gruppenisomorphismus . Meist meint man mit Isomorphismen solche algebraischen Strukturen wie Gruppen Ringen Körpern oder Vektorräumen .

Sind ( X <=) und ( Y {=) total geordnete Mengen dann ist ein Isomorphismus von X nach Y eine Bijektion f mit der Eigenschaft

f ( u ) {= f ( v ) genau dann wenn u <= v

für alle u v in X . Eine solche Bijektion ist also streng monoton wachsend . Solchen Isomorphismen nennt man ordnungserhaltende Bijektionen . Sie spielen in der Theorie der Ordinalzahlen eine wichtige Rolle.

Sind ( X d) und ( Y D) metrische Räume dann ist ein Isomorphismus von X nach Y eine Bijektion f mit der Eigenschaft

D( f ( u ) f ( v )) = d( u v )

für alle u v in X . Solche Isomorphismen nennt man Isometrien .

In der universellen Algebra kann man eine allgemeine Definition eines angeben die diese und andere Situationen abdeckt. Definition eines Isomorphismus in der Kategorientheorie ist noch allgemeiner.

Lässt man in den gegebenen Beispielen Forderung der Bijektivität weg erhält man jeweils

Siehe auch: Morphismus



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