Er wurde am 19. April 1951 Tvøroyri auf Suðuroy geboren. Hier war er Volks- und Seit 1990 ist der Sozialdemokrat Mitglied des Løgting . Von 1991 bis 1996 war er Minister unter verschiedenen Koalitionen von 1994 bis 1996 auch Stellvertretender Ministerpräsident.
Von 1998 bis 2001 war er einer der beiden färöischen im dänischen Parlament dem Folketing .
Seit dem 4. Februar 2004 ist Eidesgaard Regierungschef ( Løgmaður ) der Färöer. Seine Sozialdemokratische Partei ( Javnaðarflokkurin ) errang bei den Wahlen im Januar sieben der insgesamt 32 Løgting-Sitze.