Jacobi-Matrix

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Die Jacobi-Matrix (auch Funktionalmatrix) dient zur näherungsweisen Berechnung Funktionen in der Mathematik .

Sie ist die m × n - Matrix sämtlicher erster partiellen Ableitungen einer differenzierbaren Funktion

<math>f:R^{n} \rightarrow R^{m}</math>

Als lineare Abbildung stellt sie die beste lineare Approximation einer differenzierbaren Funktion in einem gegebenen dar (siehe auch Taylor-Formel ). Benannt wurde sie nach Carl Gustav Jacob Jacobi .

Bei n = m = 3:

<math>f(x y z) = \begin{pmatrix}f_1(x y z) f_2(x y z) \\ f_3(x y z) </math>

lautet sie:

<math>J = \frac{\partial f}{\partial (x y z)} \begin{pmatrix}

\frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial & \frac{\partial f_1}{\partial z} \\ \frac{\partial f_2}{\partial & \frac{\partial f_2}{\partial y} & \frac{\partial f_2}{\partial \\ \frac{\partial f_3}{\partial x} & \frac{\partial f_3}{\partial & \frac{\partial f_3}{\partial z} \end{pmatrix} </math>

und kann wenn man sie für Punkt p ausrechnet zur Näherung der Funktionswerte von f in der Nähe von p verwendet werden:

<math>

f(x y z) \approx f(p_x p_y + J_p \cdot \begin{pmatrix} x-p_x \\ y-p_y z-p_z \end{pmatrix} </math>

Für m = 1 entspricht die Jacobi-Matrix dem Gradient von f .

Siehe auch: Differentialrechnung Matrixmultiplikation

Bücher zum Thema Jacobi-Matrix

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