Körper (Mathematik)

Ein Körper (engl.: Field) ist eine mathematische Struktur einer Menge M und zwei Verknüpfungen die üblicherweise Addition + und Multiplikation * bezeichnet werden sie sich von den üblichen Grundrechenarten unterscheiden können.

Inhaltsverzeichnis

1 Formale Definition 2 Beispiele 3 Endliche Körper 4 Schiefkörper

Formale Definition

Eine Menge M mit zwei Verknüpfungen + und * ein Körper wenn gilt:

• (M +) ist eine Abelsche Gruppe deren neutrales Element als 0 bezeichnet
• (M\{0} *) ist eine abelsche Gruppe deren Element als 1 bezeichnet wird;
• es gilt das Distributivgesetz a*(b+c) = a*b + a*c.

Diese Definition sorgt dafür dass Multiplikation Addition in der „gewohnten“ Weise funktionieren. Das von a bzgl. der Addition ist - a und wird das Negative von a genannt das Inverse von a bzgl. der Multiplikation ist a ^-1 und wird der Kehrwert oder das Inverse von a genannt. Da die 0 keinen Kehrwert wird sie aus der multiplikativen Gruppe herausgenommen.

Jeder Körper ist ein Ring . Die Eigenschaften der multiplikativen Gruppe heben Körper aus den Ringen heraus. Wenn nur Kommutativität der multiplikativen Gruppe fehlt hat man Schiefkörper .

Jeder Körper ist ein Vektorraum über sich selbst (mit sich selbst zugrundeliegendem Skalarkörper).

Beispiele

Bekannte Beispiele für Körper sind die der rationalen Zahlen mit + und * die Menge reellen Zahlen mit + und * oder die der komplexen Zahlen mit + und *.

Kompliziertere Beispiele sind endliche Körper und die p-adischen Zahlen .

Ein Gegenbeispiel bildet die Menge Z ganzen Zahlen mit + und *. (Z *) ist kein Körper. Zwar ist (Z eine Gruppe (neutral ist die 0 das zu a ist -a) aber (Z\{0} *) keine Gruppe. Es gibt zwar das Neutralelement aber außer zu 1 und -1 gibt keine Inversen (z.B. 3 ^-1 = 1/3 liegt nicht in Z). ganzen Zahlen bilden einen Integritätsring dessen Quotientenkörper die rationalen Zahlen sind.

Endliche Körper

Ein Körper ist ein endlicher Körper wenn seine Grundmenge M endlich ist.

Die Bezeichnungen 0 1 + * dann ihre gewohnte Bedeutung und man kann auch anders bezeichnen zum Beispiel n statt e statt 1 o statt + x *. Da ein Körper zumindest die Null Neutrales der Addition) und die Eins (e der Multiplikation) enthalten muss kann er nicht als zwei Elemente haben (da 1 ein von M\{0} ist sind 0 und 1 verschieden).

Der kleinste Körper besteht tatsächlich nur diesen zwei Elementen:

Grundmenge ist M = {n e}. Verknüpfungen o und x sind durch Verknüpfungstabellen

Addition:

o	n	e
n	n	e
e	e	n

Multiplikation:

x	n	e
n	n	n
e	n	e

Man bezeichnet diesen Körper (M o auch als F ₂ (von engl. field ).

Jeder Restklassenring Z /p Z modulo einer Primzahl p ist ein endlicher es gibt aber noch andere.

Ein endlicher Körper hat immer genau ⁿ Elemente wobei p eine (beliebige) Primzahl ist und n eine natürliche Zahl . Zwei endliche Körper mit gleichvielen Elementen immer zueinander isomorph . Zusätzlich gilt dass für jede Primzahlpotenz ⁿ auch tatsächlich ein (bis auf Isomorphie endlicher Körper existiert.

Schiefkörper

Fehlt einer Struktur zu den Körpereigenschaften die Kommutativität der Multiplikation so spricht man einem Schiefkörper . Ein Beispiel dafür bildet der Schiefkörper Quaternionen .

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• Charakteristik
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