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Körpererweiterung


Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.

In der abstrakten Algebra ist ein Oberkörper (oder Erweiterungskörper ) des Körpers K ein Körper L der K als Teilkörper enthält. Zum Beispiel ist C ein Erweiterungskörper von R . Das Paar L und K bezeichnet man als Körpererweiterung und schreibt es als L / K (" L über K " aber nicht als Bruch sondern wirklich Schrägstrich).

Etwas allgemeiner betrachtet man auch den Fall als Körpererweiterung: Seien K K' und L Körper K' Teilkörper von L und K isomorph zu K' . Wenn es nicht zu Missverständnissen führt man K und K' und fasst so K selbst als Teilkörper von L auf.

Sei im folgenden stets L / K eine Körpererweiterung.

Inhaltsverzeichnis

Erweiterungsgrad

Man kann L als Vektorraum über K auffassen wobei die Vektoraddition die Körper-Addition L ist und die Skalarmultiplikation die Körper-Multiplikation Elementen aus L mit Elementen aus K . Die Dimension dieses Vektorraums nennt man den Grad der Erweiterung und schreibt ihn als [ L : K ]. Die Erweiterung heißt endlich oder unendlich je nachdem ob der Grad endlich unendlich ist.

Zum Beispiel ist [ C : R ] = 2 also ist die Erweiterung reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen endlich. Gegensatz dazu ist [ R : Q ] = c (die Mächtigkeit des Kontinuums) also ist diese Erweiterung

Sind M / L und L / K Körpererweiterungen dann ist auch M / K eine Körpererweiterung und es gilt der Gradsatz

[ M : K ] = [ M : L ] * [ L : K ].
Dies gilt auch im Falle unendlicher (als Gleichung von Kardinalzahlen oder alternativ mit den üblichen Rechenregeln das Symbol unendlich ). L / K heißt dabei eine Teilerweiterung von M / K .

algebraisch und transzendent

Ein Element von L das Nullstelle eines Polynoms über K ist heißt algebraisch über K das gradkleinste normierte solche Polynom heißt Minimalpolynom . Ist es nicht algebraisch dann heißt transzendent . Der Fall L = C und K = Q ist dabei besonders wichtig. Siehe dazu Zahl transzendente Zahl .

Ist jedes Element von L algebraisch über K dann heißt L / K algebraische Erweiterung andernfalls transzendente Erweiterung . Wenn jedes Element von L \ K transzendent ist dann heißt die Erweiterung rein transzendent .

Man kann zeigen dass eine Erweiterung dann algebraisch ist wenn sie die Vereinigung ihrer endlichen Teilerweiterungen ist. Damit ist jede Erweiterung algebraisch C / R ist also z.B. algebraisch. R / Q ist aber transzendent wenn auch nicht transzendent. Es gibt aber auch unendliche algebraische z.B. den algebraischen Abschluss von Q .

Körperadjunktion

Ist V eine Teilmenge von L dann ist der Körper K ( V ) (" K adjungiert V ") definiert als der kleinste Teilkörper von L der K und V enthält. Er besteht aus allen Elementen L die mit endlich vielen Verknüpfungen + * / aus den Elementen von K und V gebildet werden können. Ist L = K ( V ) dann sagt man L wird von V erzeugt .

einfache Erweiterung

Eine Körpererweiterung K ( a )/ K die von einem einzelnen Element erzeugt heißt einfache Erweiterung. Eine einfache Erweiterung ist endlich sie von einem algebraischen Element erzeugt wird rein transzendent wenn sie von einem transzendenten erzeugt wird. Zum Beispiel ist C eine einfache Erweiterung von R denn C = R ( i ) mit i 2 = -1. Die Erweiterung R / Q kann nicht einfach sein da sie algebraisch noch rein transzendent ist.

Kompositum

Sind K 1 und K 2 beide Teilkörper von L dann heißt der kleinste gemeinsame Oberkörper K 1 ( K 2 ) = K 2 ( K 1 ) das Kompositum von K 1 und K 2 .

Sind K 1 und K 2 beide endlich erweitere Oberkörper von K dann ist auch K 1 ( K 2 )/ K endlich.

Normale Erweiterungen

L / K heißt normale Erweiterung wenn alle Minimalpolynome über K von Elementen aus L in L vollständig in Linearfaktoren zerfallen. Ist a in L und f sein Minimalpolynom über K dann heißen die Nullstellen von f in L die Konjugierten von a . Sie sind genau die Bilder von a unter K -Automorphismen von L .

Ist L nicht normal über K dann gibt es jedoch einen Oberkörper L der normal über K ist. Er heißt die normale Hülle von L / K .

Separabilität

Separable Polynome

Ein Polynom f über K heißt separabel wenn es in seinem Zerfällungskörper nur Nullstellen hat. Es ist genau dann separabel es teilerfremd zu seiner formalen Ableitung f' ist. Ist f irreduzibel dann ist es separabel genau wenn f' nicht das Nullpolynom ist.

Es gibt aber auch die abweichende dass ein Polynom separabel heißt wenn jeder Primteiler separabel ist. Diese Definition stimmt für Polynome mit der obigen überein (insbesondere für für reduzible Polynome unterscheiden sie sich jedoch.

( Frage: Gibt es Aussagen die zwingend die oder die andere Definition der Separabilität benötigen?)

Separable Erweiterungen

Ein algebraisches Element von L heißt separabel über K wenn sein Minimalpolynom über K separabel ist. Eine algebraische Erweiterung L / K heißt separable Erweiterung wenn alle Elemente von L separabel sind.

Vollkommene Körper

Ein Körper K über dem jedes irreduzible Polynom separabel heißt vollkommen . Körper der Charakteristik 0 und endliche Körper sind vollkommen es gibt aber noch

Jede algebraische Erweiterung eines vollkommenen Körpers separabel.

K -Automorphismen

Die Gruppe aller Automorphismen von L nennt man die Automorphismengruppe von L Aut( L ). Für jeden Automorphismus s von L definiert man den Fixkörper Fix( s ) := { x in L : s ( x = x } aller Elemente von L die von s festgehalten werden. Man rechnet leicht nach das ein Teilkörper von L ist. Der Fixkörper Fix( G ) einer ganzen Gruppe G von Automorphismen in L ist definiert als der Durchschnitt aller der Elemente von G .

Die Automorphismen von L die mindestens K punktweise fest lassen bilden eine Untergruppe Aut( L ) die Gruppe der K -Automorphismen von L bezeichnet als Aut( L / K ).

Galoiserweiterung

Ist die Erweiterung L / K algebraisch normal und separabel dann heißt die Erweiterung galoissch (nach Evariste Galois ). Eine algebraische Erweiterung ist genau dann wenn der Fixkörper Fix(Aut( L / K )) der K -Automorphismengruppe gleich K ist. Man nennt Aut( L / K ) in diesem Fall die Galois-Gruppe der Erweiterung und schreibt sie als L / K ).

Ist die Galoisgruppe abelsch dann heißt Körpererweiterung abelsche Erweiterung ist sie zyklisch dann heißt die zyklisch . Zum Beispiel ist C / R abelsch und zyklisch denn ihre Galoisgruppe zweielementig und besteht aus der Identität und komplexen Konjugation . Die Erweiterung R / Q ist nicht galoissch denn der einzige von R ist die Identität und die lässt mehr als nur Q fest.

Für weitere Informationen über Galoiserweiterungen siehe Artikel Galoistheorie .



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