Eine kompakte Menge nennt man je Kontext auch Kompaktum oder kompakter Raum ; dabei ist nicht erheblich ob sie eines Oberraums ist oder nicht.
Einfache Beispiele für kompakte Mengen sind abgeschlossene und beschränkte Teilmengen des Euklidischen Raums R n wie das Intervall [0 1] (mit n =1) oder dessen Verallgemeinerung der n -dimensionale Hyperwürfel [0 1] n . Einfache Gegenbeispiele bilden die nicht kompakten [0 ∞) oder [0 1).
Der Begriff Beschränktheit setzt jedoch eine Metrik voraus. Kompaktheit kann man dagegen in abstrakteren Weise definieren die nicht mehr als beliebige Topologie voraussetzt.
Eine Teilmenge M eines topologischen Raums E heißt kompakt wenn aus jeder vorgegebenen offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung ausgewählt werden kann.
Dabei bedeutet:
offene Überdeckung von M : eine Familie <math>\{ U_i \}_{i \in von offenen Mengen <math>U_i \subset E</math> deren Vereinigung M enthält
<math>M \subset \bigcup_{i \in I} U_i;</math>
endliche Teilüberdeckung : eine Auswahl <math>U_{i_1} \dots U_{i_n}</math> deren immer noch M enthält.
Bemerkungen:
Nichttrivial ist an dieser Definition allein die dass die Teilüberdeckung endlich sein muss. Darin liegt zugleich eine Motivation für die Einführung des Begriffs Kompaktheit: Räume verhalten sich in mancher Hinsicht wie Mengen.
Ein topologischer Raum M der kompakt in sich selbst ist M als kompakte Teilmenge von M ) ist auch kompakt in jedem Oberraum M . Umgekehrt ist jede kompakte Teilmenge auch in sich selbst. Das rechtfertigt es wie der Einleitung vorweggenommen eine kompakte Menge M ohne Bezug auf einen Oberraum als kompakten Raum zu bezeichnen.
Einige Autoren verwenden für die hier definierte den Begriff "quasikompakt" und reservieren den Begriff für kompakte Hausdorff-Räume ; in der Wikipädie aber folgen wir üblichen Praxis dass kompakte Räume nicht zwingend sind.
Betrachte die Menge 2 N aller Folgen mit Werten aus {0 1}. Man sie in einen metrischen Raum verwandeln indem man d (( x n ) ( y n )) = 1/ k definiert wobei k der kleinste Index ist so dass x k ≠ y k (falls es keinen solchen Index gibt sind die beiden Folgen identisch und man ihren Abstand als Null). Dann ist 2 N ein kompakter Raum ein Folgerung aus Satz von Tychonoff (s.u.). Diese Konstruktion kann jede endliche Menge durchgeführt werden nicht nur {0 1}. Der entstehende metrische Raum ist sogar ultrametrisch .
Das Bild einer kompakten Menge unter einer stetiges Funktion ist kompakt. Folglich nimmt eine Funktion auf einem Kompaktum ein globales Minimum und ein globales Maximum an.
Jede unendliche Folge <math>(a_n)_{n \in \mathbb N}</math> von Elementen kompakten Menge <math>K \subset E</math> besitzt einen Schärfer: Es existiert eine in <math>K</math> konvergente <math>(a_{n_i})_{i \in \mathbb N}</math>. ( Satz von Bolzano-Weierstraß ) Die Umkehrung gilt jedoch nicht in topologischen Raum d.h. eine Teilmenge in der Folge eine (in der Teilmenge) konvergente Teilfolge (eine solche Teilmenge heißt folgenkompakt siehe unten) muss nicht kompakt sein. Beispiel bildet die Menge der abzählbaren Ordinalzahlen mit der Ordnungstopologie??)
Eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raumes ist
Ein metrischer Raum ist kompakt genau dann jede Folge in dem Raum eine Teilfolge mit Grenzwert in dem Raum hat.
Ein topologischer Raum ist kompakt genau dann jedes Netz auf dem Raum ein Teilnetz das einen Grenzwert in dem Raum hat.
Ein topologischer Raum ist kompakt genau dann jeder Filter auf dem Raum eine konvergente Verfeinerung
Ein topologischer Raum ist kompakt genau dann jeder Ultrafilter auf dem Raum konvergiert.
Ein topologischer Raum kann in einen kompakten eingebettet werden genau dann wenn er ein Raum ist.
Jeder topologische Raum X ist ein dichter Unterraum eines kompakten der höchstens einen Punkt mehr besitzt als X . (Siehe auch Kompaktifizierung.)
Ein metrischer Raum X ist kompakt genau dann wenn jeder X homöomorphe metrische Raum vollständig ist.
Falls der metrische Raum X kompakt ist und eine offene Überdeckung X gegeben ist dann existiert eine Zahl > 0 so dass jede Teilmenge von X mit Durchmesser < δ in einem der Überdeckung enthalten ist. (Zahlen-Lemma von Lebesgue)
Falls ein topologischer Raum eine Subbasis hat dass jede Überdeckung des Raumes durch Elemente Subbasis eine endliche Teilüberdeckung hat so ist Raum kompakt. (Alexanders Subbasis-Satz)
Zwei kompakte Hausdorff-Räume X 1 und X 2 sind homöomorph genau dann wenn ihre Ringe von stetigen reell-wertigen Funktionen C( X 1 ) und C( X 2 ) isomorph sind.
Es gibt einige topologische Eigenschaften die zur Kompaktheit in metrischen Räumen sind aber inäquivalent in allgemeinen topologischen Diese beinhalten die folgenden:
Folgenkompakt: Jede Folge hat eine konvergente Teilfolge.
Abzählbar kompakt: Jede abzählbare offene Abdeckung hat endliche Unterabdeckung. (Oder äquivalent jede unendliche Teilmenge einen ω-Häufungspunkt.)
Pseudokompakt: Jede reell-wertige stetige Funktion auf dem ist beschränkt.
Schwach abzählbar kompakt: Jede unendliche Teilmenge hat Häufungspunkt.
Während diese Konzepte für metrische Räume sind gibt es im Allgemeinen folgende Beziehungen:
Kompakte Räume sind abzählbar kompakt.
Folgenkompakte Räume sind abzählbar kompakt.
Abzählbar kompakte Räume sind pseudokompakt und schwach kompakt.
