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Komplexe Zahlen


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Komplexe Zahlen erweitern den Körper der reellen Zahlen derart dass sämtliche (nicht konstanten ) algebraischen Gleichungen auflösbar werden z. B. nicht nur:

<math>x^2-1=0</math> (Lösungen x 1 2 = ±1)
sondern auch
<math>x^2+1=0</math> (keine reellen Lösungen).

Komplexe Zahlen werden meist in der

a + bi
dargestellt wobei a und b reelle Zahlen und i die imaginäre Einheit ist. Für die Menge der komplexen wird das Symbol <math>\mathbb{C}</math> verwendet.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Die folgende Definition nimmt zunächst keinen auf die imaginäre Einheit i sondern erfolgt in der Paarschreibweise:

Eine komplexe Zahl ist ein Paar <math>(a b)</math> zweier Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>.
Für die Addition gilt <math>(a b) + (c d) (a + c b + d)</math> (d.h.
Für die Multiplikation gilt <math>(a b) \cdot (c d) (a \cdot c - b \cdot d \cdot d + b \cdot c)</math>.

Die Menge <math>\mathbb{C}</math> der Paare reeller mit den so definierten Verknüpfungen bildet einen Körper <math>(\mathbb{C} + \cdot)</math>.

Die erste Komponente des Paares <math>(a also <math>a</math> nennt man den Realteil der komplexen Zahl <math>(a b)</math> den also <math>b</math> den Imaginärteil .

Die Zahl <math>(0 1)</math> hat die dass

<math>(0 1)^2 = (0 1) \cdot (0 = (-1 0) = -1</math>

ist. Somit ist <math>x = (0 eine Lösung der obigen quadratischen Gleichung <math>x^2 + 1 = 0</math>. Eine Lösung ist <math>(0 -1)</math>.

Schreibweise a + bi

Komplexe Zahlen mit Imaginärteil <math>0</math> verhalten wie reelle Zahlen:

<math>(a 0) + (c 0) = (a c 0)</math>
<math>(a 0) \cdot (c 0) = (a c 0)</math>

Man kann sie also mit ihrem identifizieren d.h. jede reelle Zahl ist eine Zahl mit Imaginärteil Null:

<math>a = (a 0)</math>
Zum Beispiel ist <math>1 = (1 oder <math>0 = (0 0)</math>.

Die komplexe Zahl <math>(0 1)</math> nennt die imaginäre Einheit kurz <math>i</math> (oder auch <math>j</math> in Elektrotechnik).

Mit diesen Gleichsetzungen kann jede komplexe in Realteil und Imaginärteil zerlegt werden:

<math>(a b) = (a 0) + (0 = (a 0) + (b 0) \cdot 1) = a + b \cdot i</math>.

Damit kann von der Paarschreibweise zu "gewohnten" Schreibweise übergegangen werden wobei man neben reellen Zahlen <math>a</math> <math>b</math> jetzt aber zusätzlich (nicht reelle) Zahl <math>i</math> benutzt die die <math>i^2 = -1</math> besitzt und die daher als " Wurzel aus -1" aufgefasst wird.

Die Definitionen von Addition und Multiplikation sich nun als übliche Klammerrechnung interpretieren:

Man addiert die beiden Realteile und beiden Imaginärteile separat:

<math>(a + b \cdot i) + (c d \cdot i) = (a + c) (b + d) \cdot i</math>

Man subtrahiert die beiden Realteile und beiden Imaginärteile separat:

<math>(a + b \cdot i) - (c d \cdot i) = (a - c) (b - d) \cdot i</math>

Der Realteil des Produkts besteht aus Produkt der Realteile minus dem Produkt der der Imaginärteil des Produkts ist die Summe beiden gemischten Produkte "Realteil mal Imaginärteil":

<math>(a+b\cdot i) \cdot (c+d\cdot i) = (a\cdot - b\cdot d) + (a\cdot d+b\cdot c)\cdot

Der Quotient zweier komplexer Zahlen lässt sich berechnen man mit dem komplex konjugierten des Nenners erweitert . Der Nenner wird dadurch reell.

<math>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math>

Komplexe Zahlen sind im Gegensatz zu Zahlen nicht mehr geordnet d.h. man kann keine Relation < oder > (größer) zwischen ihnen aufstellen.

  

Rechenbeispiele

Addition:

<math>(3+2i) + (5+5i) = (3+5) + (2+5)i 8+7i</math>
Subtraktion:
<math>(5+5i) - (3+2i) = (5-3)+(5 - 2)i 2 + 3i</math>
Multiplikation:
<math>(2+5i) \cdot (3+7i) = (2\cdot 3 - 7)+(2\cdot 7 + 5\cdot 3)i = -29 29i</math>

Komplexe Ebene

Zahlengerade mit √2 e und π

Während sich die Menge der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> an einer Zahlengeraden veranschaulichen lässt man die Menge <math>\mathbb{C}</math> der komplexen Zahlen Ebene (komplexe Ebene Gauß 'sche Ebene) interpretieren. Die Menge der reellen bildet darin die waagerechte Achse die Menge rein imaginären Zahlen (d.h. mit Realteil 0) die senkrechte Achse. Eine komplexe Zahl <math>z (a b)</math> wird als Punkt mit den <math>a</math> und <math>b</math> dargestellt.

Da die Addition komplexer Zahlen komponentenweise kann sie geometrisch als Pfeiladdition (Vektoraddition) interpretiert

Polardarstellung Betrag und Argument

Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl
in kartesischen und in Polarkoordinaten

Anstatt durch seine Koordinaten a und kann ein Punkt in der Ebene auch den Abstand vom Ursprung <math>(0 0)</math> und Winkel zwischen der waagerechten Achse und der zum Ursprung beschrieben werden (Polarkoordinaten).

Es gilt dann

<math>r = \sqrt{a^2 + b^2}</math>
<math>\varphi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)</math>

sowie

<math>a = r \cdot \cos(\varphi)</math>
<math>b = r \cdot \sin(\varphi)</math>.

Man nennt <math>r</math> den Betrag und <math>\varphi</math> das Argument der Zahl <math>z</math>.

Man kann das Argument von <math>a+bi</math> die folgende Formel berechnen:

<math> \tan \varphi = \frac{b}{a}</math>

Dabei muss man beachten dass dies für a ≠ 0 gilt und der Tangens denselben Wert zweimal im Intervall [0° annimmt. Man muss also noch durch die der Vorzeichen von a und b den Winkel bestimmen.

Es gilt die Darstellung

<math>z = a + bi = r (\cos(\varphi) + i\cdot\sin(\varphi)) = r \cdot E(\varphi)</math>.

Hier ist <math>E(\varphi)</math> eine komplexe Zahl Betrag <math>1</math> und vom Argument <math>\varphi</math>. Diese kann auch als

<math>E(\varphi) = e^{i\varphi}</math>

interpretiert werden sobald man Potenzen mit Exponenten eingeführt hat was durch Potenzreihenentwicklung geschieht. Konsequenz hiervon ist die Eulersche Identität :

<math> e^{i \varphi} = \cos\left(\varphi \right) + \sin\left( \varphi\right) </math>

Dies ermöglicht auch eine geometrische Interpretation Multiplikation. Mit

<math>a+bi = r\cdot E(\varphi) = r \cdot
<math>c+di = s\cdot E(\psi) = s \cdot

wird

<math>\begin{matrix}
(a+bi)\cdot(c+di) & = & r\cdot e^{i\varphi} s \cdot e^{i\psi} & & \\
 & = & (r \cdot s) e^{i (\varphi+\psi)} & = & (r\cdot s)\cdot  
\end{matrix}</math>.

Das bedeutet: Bei der Multiplikation komplexer werden ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente addiert.

Eine komplexe Zahl <math>z = a+bi</math>
mit ihrer komplex konjugierten .

Ersetzt man den Imaginärteil <math>b</math> einer Zahl <math>z = a+bi</math> durch sein negatives erhält man die zu <math>z</math> konjugiert komplexe Zahl <math>\bar z</math>. In Polarkoordinaten hat z</math> den negativen Winkel von <math>z</math>.

Naturphilosophische Aspekte der komplexen Zahlen

Komplexe Zahlen spielen in der Grundlagenphysik zentrale Rolle. So passt insbesondere die mathematische der Quantentheorie exakt zur Struktur der komplexen Zahlenmathematik dort nicht weg zu denken ist. Sie dort Verwendung bei der Definition von Differentialoperatoren in der Schrödinger-Gleichung und der Klein-Gordon-Gleichung . Für die Dirac-Gleichung benötigt man eine Zahlbereichserweiterung der komplexen die Quaternionen . Alternativ ist eine Formulierung mit Pauli-Matrizen die aber die gleiche algebraische Struktur wie die Quaternionen aufweisen.

In der Relativitätstheorie werden Raum und Zeit zur einer Raum-Zeit verknüpft. Substituiert man dazu die Zeit t mittels x 4 = ict durch eine 4. Raumkoordinate x 4 so ergibt sich eine Form der Naturgesetze in denen diese vier Koordinaten strukturell gleichberechtigt auftreten. So erhält man insbesondere für Metrik M dieser Raum-Zeit

M = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2

die die gleiche fundamentale Rolle für Raum-Zeit spielt wie der räumliche Abstand für gewöhnlichen Raum. Diese Substitution wird von einigen in Lehrbüchern verwendet die die spezielle Relativitätstheorie behandeln oder Abschnitte hierüber beinhalten. Der x = (x y z ict) wird auch als Vierervektor bezeichnet. In der Praxis hat sich allerdings eine Formulierung mit Vierervektoren durchgesetzt eingebettet in einen Formalismus der zur allgemeinen Relativitätstheorie führt. Dabei werden je nach Definition zugrundeliegenden Metrik verschiedene Formen verwendet z.B. x = (ct x y z) oder y = (x y z ct) . Man vermutet jedoch die Existenz zusätzlicher Dimensionen der Raum-Zeit über deren Anzahl und noch spekuliert wird so dass der Stellenwert Substitution x 4 = ict letztlich noch offen ist. Es gilt als unwahrscheinlich dass die noch zu entdeckenden der Quantengravitation die die beiden Säulen des derzeitigen Theoriengebäudes nämlich die Quanten- und die Relativitätstheorie würde ohne komplexe Zahlen auskommen würde.

Darüber hinaus ist die Mathematik der Zahlen derjenigen der reellen Zahlen hinsichtlich Eleganz Abgeschlossenheit deutlich überlegen. So ist um nur Beispiel zu nennen jede differenzierbare komplexe Funktion unendlich oft differenzierbar anders als in der der reellen Zahlen.

Es hat sich gezeigt dass komplexe tiefer in der Natur und auch in Mathematik verankert sind als man zur Zeit Entdeckung ahnen konnte. Die grundlegende Frage scheint weniger zu sein warum die Quantentheorie so zu den komplexen Zahlen passt sondern warum bei der physikalischen Beschreibung unserer Alltagswelt eigentlich gut mit den reellen Zahlen auskommen.

Komplexe Zahlen in der angewandten Mathematik

Komplexe Zahlen haben in der Physik Technik eine wichtige Rolle als Rechenhilfe. So sich insbesondere die Behandlung von Differentialgleichungen zu vereinfachen da sich damit die komplizierten Beziehungen Zusammenhang mit Produkten von Sinus- bzw. Kosinusfunktionen Produkte von Exponentialfunktionen ersetzen lassen wobei lediglich Exponenten addiert werden müssen. So fügt man beispielsweise in der komplexen Wechselstromrechnung willkürliche aber passende Imaginärteile in die Ausgangsgleichungen ein die man bei der Auswertung Rechergebnisse dann wieder ignoriert. Es handelt sich lediglich um einen Rechentrick ohne philosophischen Hintergrund.

In der Fluiddynamik werden komplexe Zahlen eingesetzt um ebene zu erklären und zu verstehen. Jede beliebige Funktion eines komplexen Arguments stellt immer eine Potenzialströmung dar - der geometrische Ort entspricht komplexen Argument in der Gauß'schen Zahlenebene das dem Realteil der Funktion und die Stromlinien Isolinien des Imaginärteils der Funktion mit umgekehrtem Das Vektorfeld der Strömungsgeschwindigkeit entspricht der konjugiert ersten Ableitung der Funktion. Durchs Experimentieren mit Überlagerungen von Parallelströmung Quellen Senken Dipolen und kann man die Umströmung unterschiedlicher Konturen darstellen. lassen sich diese Strömungsbilder durch konforme Abbildung das komplexe Argument wird durch eine Funktion komplexen Arguments ersetzt. Beispielsweise lässt sich die eines Kreiszylinders (Parallelströmung + Dipol + Wirbel) die Umströmung eines tragflügel-ähnlichen Profils (Jukowski-Profil) verzerren die Rolle des tragenden Wirbels an einer studieren. So nützlich diese Methode zum Lernen Verstehen ist zur genauen Berechnung reicht sie allgemeinen nicht aus.

Wichtig ist auch die Anwendung komplexer bei der Berechnung uneigentlicher reeller Integrale im Rahmen des Residuensatzes der Funktionentheorie .

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