Komposition (Mathematik)

Die Komposition ist punktweise definiert: Seinen A B C beliebige Mengen und f : A → B und g : B → C Funktionen mit den angegebenen Definitions - und Wertebereichen . Dann ist die Komposition g ◊ f eine Funktion von A nach C definiert durch die Vorschrift:

<math>\left(f\circ g\right)(x):=f\left(g\left(x\right)\right)</math>

Alternative Schreibweisen für g ◊ f sind u.a. g o f und gf ausgesprochen wird es als g hinter f oder g nach f .

Der Begriff der Komposition kann von auf Relationen verallgemeinert werden.

Algebraische Eigenschaften

Die Komposition von Funktionen ist immer assoziativ d.h. für Funktionen f g und h gilt:

<math>\left(h\circ g\right)\circ f = h\circ\left(g\circ f\right)</math>

( h ◊ ( g ◊ f ))( x ) = h (( g ◊ f )( x )) = h ( g ( f ( x )))

(( h ◊ g ) ◊ f )( x ) = ( h ◊ g )( f ( x )) = h ( g ( f ( x )))

Die Komposition von Funktionen ist im nicht kommutativ ; beispielsweise gilt für die Funktionen q ( x ):= x · x und a ( x ):= x +1:

• ( q ◊ a )(2) = q ( a (2)) = q (3) = 9
• ( a ◊ q )(2) = a ( q (2)) = a (4) = 5

Algebraische Strukturen

Wird die Menge F( A ) aller Funktionen aus einer gegebenen Menge A auf sich selbst betrachtet so definiert Komposition eine innere Verknüpfung auf F( A ) bezüglich derer F( A ) (mit der identischen Abbildung als neutrales ein so genanntes Monoid darstellt.

Werden nur bijektive Funktionen herangezogen ist das Monoid sogar Gruppe mit der jeweiligen Umkehrfunktion als inverses Element . Falls die Menge A endlich ist es sich um eine symmetrische Gruppe .

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