Konkav

Als konkav ( lat.: concav ausgehöhlt einwärts gewölbt) bezeichnet man in Mathematik und der Optik (siehe auch Linse ) die Form eines Körpers dessen Oberfläche innen gewölbt ist. Eine nach außen gewölbte wird als konvex bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

1 Geometrie: Konkave Menge 2 Analysis: Konkave Funktion 2.1 Definition 2.2 Eigenschaften 2.3 Beispiele

Geometrie: Konkave Menge

Genauer definiert man eine geometrische Figur eine Teilmenge eines reellen Vektorraums als konkav wenn sie nicht konvex Konvex ist eine Figur oder Menge wenn Verbindungsstrecke zwischen je zwei ihrer Punkte ganz der Figur liegt. Diese Definition erfasst auch deren Oberfläche aus mehreren Teilen besteht wie Kreisring und Torus .

Konkave Figuren der Ebene sind z.B. Viertelmond der Buchstabe T ein Kreisring oder eine Figur die mehreren Teilen besteht (selbst wenn jeder dieser konvex ist). Die Abbildung zeigt jedes dieser mit einer Verbindungsstecke die nicht ganz in Figur liegt.

Die meisten in der Schule behandelten sind dagegen konvex wie z.B. Kreise Trapeze (insbesondere Rechtecke) und Dreiecke - jeweils als Voll-Figuren aufgefasst der selbst ist hier jedesmal konkav.

Im 2-dimensionalen Raum verursachen konkave polygonal begrenzte Flächen meist mehr Aufwand z.B. der Berechnung des Flächeninhaltes.

Gleiches gilt im 3-dimensionalen Raum: Bei zweidimensionalen Darstellung (z.B. durch Zentralprojektion ) kann sich ein Torus (konkav) im Gegensatz zu einer Kugel selbst verdecken.

Analysis: Konkave Funktion

Definition

In der Analysis heißt eine Funktion f von einem Intervall I (oder einer konvexen Teilmenge I eines Vektorraums ) nach R konkav wenn für alle x y aus I gilt:

<math>f\left(\frac{x+y}{2}\right) \ge \frac{f(x)+f(y)}{2}</math>

Anschaulich bedeutet die Definition: Der Funktionswert der Mitte zwischen zwei Werten x y liegt oberhalb der Mitte der Verbindungsgerade beiden Funktionswerte an x und y .

Äquivalent dazu ist die Bedingung dass alle x y aus I und t zwischen 0 und 1 gilt:

<math>f(tx + (1-t)t) \ge tf(x) + (1-t)f(y)</math>

Eine Funktion heißt streng konkav wenn für alle x y aus I gilt:

<math>f\left(\frac{x+y}{2}\right) > \frac{f(x)+f(y)}{2}</math>

Eigenschaften

Der Graph einer konkaven Funktion ist so gewölbt die Menge der Punkte unterhalb des Graphen konvexe Menge ist. Zu beachten ist dass nicht-konvexe Funktion nicht automatisch konkav sein muss konvex und konkav sind hier nicht das Gegenteil voneinander. Jede lineare Funktion ist sowohl konkav als auch konvex die Sinusfunktion ist keins von beiden (weder die der Punkte oberhalb des Graphen noch die Punkte unterhalb des Graphen ist eine konvexe Jedoch ist eine Funktion f konkav genau dann wenn die Funktion f konvex ist. Ist f differenzierbar dann ist f konkav genau dann wenn ihre Ableitung fallend ist und streng konkav genau dann <math>f'</math> streng monoton fallend ist. Ist f zweimal differenzierbar dann ist f konkav genau dann wenn <math>f </math> nichtpositiv ist und streng konkav genau wenn <math>f </math> negativ ist.

Beispiele

• Die Funktion f ( x ) = - x ² ist auf ganz R streng konkav denn f '( x ) = -2 x ist steng monoton fallend.
• Die Wurzelfunktion f ( x ) = √ x ist streng konkav auf dem Intervall ∞) der nichtnegativen reellen Zahlen.
• Die Logarithmusfunktion ist streng konkav auf dem Intervall ∞).
• Die negative Betragsfunktion f ( x ) = -| x | ist auf ganz R konkav aber nicht streng konkav.
• Die Funktion f ( x ) = x ³ ist konkav für x ≤ 0 und konvex für x ≥ 0.

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