Konstruktion (Mathematik)

Geometrie

In der Geometrie versteht man unter einer Konstruktion die exakte zeichnerische Darstellung eines Körpers aus gegebenen Größen. Meist versteht man unter geometrischen Konstruktion die Konstruktion nur mit Zirkel und Lineal .

Beispiel: Konstruktion eines Dreiecks aus 3 Vorgaben (z.B. 2 Längen Winkel )

Viele geometrische Figuren können nicht allein Zirkel und Lineal genau konstruiert werden zum die Kegelschnitte (außer dem Kreis ) und viele regelmäßige Vielecke . Auch viele trivial erscheinende Aufgaben können nur durch Konstruktion gelöst werden. Die berühmtesten sind die klassische Probleme der antiken Mathematik :

• die Quadratur des Kreises (Konstruktion eines zum einem Kreis flächengleichen Quadrats )
• die Drittelung des Winkels
• die Erzeugung eines Würfels mit doppeltem

andere mathematische Konstruktionsarten

In der Mathematik versteht man unter der Konstruktion einer Struktur eine konkrete Darstellung durch einfachere) bereits konstruierte Strukturen unter anderem durch

• mengentheoretische Operationen wie Bildung von kartesischen Produkten ( Tupeln ) und Äquivalenzklassen
• analytischen Methoden wie Grenzwertübergänge Vervollständigungen
• algebraische Methoden wie Körpererweiterungen um algebraische oder transzendente Elemente.

Zum Beispiel beginnen die Konstruktionen der Zahlen mit der als gegeben vorausgesetzten Menge N der natürlichen Zahlen (die z.B. innerhalb der Mengenlehre erzeugt oder als "vom lieben Gott ( Kronecker ) angesehen werden). Daraus werden durch Paarbildung und Bildung von Äquivalenzklassen die ganzen Zahlen Z daraus die rationalen Zahlen durch Vervollständigung die reellen Zahlen und schließlich durch Erweiterung um die imaginäre Einheit die komplexen Zahlen gebildet.

Die Konstruktion einer Struktur dient unter dem Nachweis ihrer Existenz . Ob bestimmte Operationen für Konstruktionen zugelassen hängt von der jeweiligen Auffassung von Mathematik in der intuitionistischen Mathematik z.B. sind nur Methoden erlaubt (Vervollständigungen z.B. sind im allgemeinen finit).

Manche Existenzbeweise mathematischer Objekte werden Konstruktionen obwohl sie nichtkonstruktiv sind. Zum Beispiel nutzt das Lemma von Zorn um die Existenz von Basen in Vektorräumen nachzuweisen für die man keine Basis finiten Methoden konstruieren kann. Mit solchen Objekten man meist nur theoretisch argumentieren aber nicht arbeiten.

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