Konvergenz (Mathematik)

Definition

Sei ( X d ) ein metrischer Raum . Eine Folge ( x _i ) in X heißt konvergent gegen a wenn gilt:

<math>\forall {\epsilon > 0} \ \exists \ \in \mathbb{N} : \forall \ n > \quad d(a x_n) < \epsilon</math>

(Sprich: Es gibt für jedes beliebige so kleine) ε einen Index N derart für alle n > N (alle weiteren gilt d( a x _n ) < ε (in den reellen Zahlen also | x _n - a | < ε))

a heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge und man

<math> \lim_{i \to \infty} x_i = a</math>

Wenn die Folge ( x _i ) nicht konvergiert dann sagt man sie divergiert . In den reellen Zahlen unterscheidet man zwischen bestimmter Divergenz und unbestimmter Divergenz .

Bestimmte Divergenz gegen <math>+\infty</math> (bzw. <math>-\infty</math>) liegt vor die x _i jede reelle Zahl irgendwann überschreiten und darüber bleiben (bzw. jede Zahl unterschreiten). Man dann

<math>\lim_{i \to \infty} x_i = \infty</math>

<math>\lim_{i \to \infty} x_i = -\infty</math>

Unbestimmte Divergenz liegt vor wenn die Folge nicht eben beschriebene Verhalten hat.

Beispiele

In den reellen Zahlen:

• Die Folge (1/ n ) konvergiert gegen 0 (ist eine Nullfolge ).
• Die konstante Folge ( c ) mit einer festen reellen Zahl c konvergiert gegen c .
• Die Folge (1 1.4 1.41 1.414 1.41421 ...) der abbrechenden Dezimalentwicklungen von √2 gegen √2.
• Die Folge (n) der natürlichen Zahlen bestimmt gegen <math>\infty</math>.
• Die Folge (+1 -1 +1 -1 divergiert unbestimmt.
• Die Folge (1 -2 3 -4 -6 ...) divergiert unbestimmt.

In den rationalen Zahlen sind (1/ n ) und ( c ) für eine feste rationale Zahl c konvergent; die Dezimalbruchentwicklung von √2 konvergiert nicht da kein rationaler Grenzwert existiert. Sie ist jedoch eine Cauchy-Folge .

Konvergenzkriterien

Da man häufig die Konvergenz einer unendlichen Reihe nicht direkt mit der obigen Definition kann gibt es einige so genannte Konvergenzkriterien.

• Cauchy-Kriterium
• Majorantenkriterium
• Quotientenkriterium
• Wurzelkriterium
• Leibniz-Kriterium

Siehe auch:

• absolute Konvergenz punktweise Konvergenz
• Cauchy-Folge
• Konvergenzgeschwindigkeit
• Reihe (Mathematik)

Bücher zum Thema Konvergenz (Mathematik)

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