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Krümmung


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Krümmung einer Kurve

Unter der Krümmung einer Kurve versteht man in der Geometrie und Mathematik die Richtungsänderung pro Längeneinheit. <math>\vec{r}(s)</math> sei Ortsvektor eines Punktes auf der Kurve als der Bogenlänge <math>s</math>. Die Krümmung <math>{\ \kappa\ }</math> Kurve ist dann definiert als
<math>
 \kappa = |\frac{\partial^2\vec{r}}{\partial s^2}| \ \ \ \ \ \mbox{mit} \ \ \ \ \ ds = |d\vec{r}|  
</math> Zusammen mit der Windung beschreibt Krümmung die Gestalt einer Kurve in der eines Punktes.

Den Kehrwert der Krümmung nennt man Krümmungsradius .

Im Sonderfall einer ebenen Kurve (ihre beträgt null) ist die Krümmung gleichbedeutend mit

<math>
 \kappa = |\frac{\partial\varphi}{\partial s}|  
</math> wobei <math>\varphi</math> der Neigungswinkel der ist.

Krümmung einer Fläche

Einer gewölbten Fläche merkt man ihre an einer nach außen quadratisch zunehmenden Abweichung der Fläche von ihrer Tangentialebene an. Eine verstärkte Krümmung macht sich dann als stärkere Abweichung der Ebene bemerkbar.

In der Differentialgeometrie weist man gekrümmten Flächen zwei Krümmungsradien zu: einen maximalen (N) und minimalen (M) in jedem Punkt. Sie stehen senkrecht aufeinander. Die Gauß -sche oder mittlere Krümmung ist geometrisches Mittel ihrer Kehrwerte:

<math>
GK = \sqrt{\frac{1}{M} \cdot \frac{1}{N}} = N}} </math> Die zugehörige "Gauß'sche Schmiegungskugel" vereinfacht Berechnungen am Erdellipsoid erheblich.

In der Relativitätstheorie

befindet sich ein Beobachter zwar nicht "üblichen" 3-dimensionalen Raum kann aber die gesamte 4-D Raum-Zeit nicht wahrnehmen. Wenn er sich in Sternhaufen befindet - und die Sterne ringsum einmisst - bemerkt er "zusätzliche an den Bahnkurven der Sterne um das des Haufens. Die Newtonsche Mechanik lässt ihn auf Kräfte schließen die Gravitationskräfte nennt. In Wirklichkeit handelt es sich um Scheinkräfte als Folge der Krümmung der [[Raum-Zeit].

Jeder Stern fliegt sozusagen geradeaus wie angesichts der Raumkrümmung überhaupt möglich ist. Im Rahmen der Relativitätstheorie gibt es letztlich keine Gravitationskräfte.



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