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Kreisfläche


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Die Kreisfläche ist in der Mathematik die vom umschlossene Fläche . Sie ist gleichzeitig die Fläche die einer Strecke überstrichen wird die um eine zu senkrecht stehende Drehachse rotiert.

Inhaltsverzeichnis

Flächenformel

Die Kreisfläche F steht in einem quadratischen Zusammenhang zum Radius r bzw. zum Durchmesser d des Kreises :

<math>F = r^2\cdot\pi</math>

oder

<math>F = \frac{d^2\cdot\pi}{4}</math>

Quadratur

Bereits in der Antike suchte man einem Quadrat mit ganzzahliger Kantenlänge das den gleichen Flächeninhalt wie ein mit ganzzahligem Radius hat. Diese Quadratur des Kreises [1] gilt heute als Sinnbild für eine Aufgabe.

Flächenmessung

Die Fläche eines Kreises lässt sich annähernd bestimmen indem man kleine Quadrate unterlegt. Zählt man alle Quadrate vom Kreis vollständig bedeckt werden so erhält einen etwas zu niedrigen Wert für die zählt man auch alle Quadrate mit die Kreis lediglich schneidet so ist der Wert groß. Der Mittelwert beider Ergebnisse nähert die Fläche recht gut an.

Eine andere Möglichkeit zur Kreisflächenbestimmung ist den Kreis ein gleichseitiges Sechseck einzuzeichnen dessen den Kreis eben berühren. Werden nun die vom Mittelpunkt aus auf den Kreis projiziert diese neuen Punkte mit den alten Ecken so entsteht ein regelmäßiges Zwölfeck. Wird dieser wiederholt entstehen nacheinander ein 24-Eck ein 48-Eck so fort. Deren Flächen lassen sich durch Dreiecksflächenberechnung exakt bestimmen. Der Grenzwert der Folge dieser Flächen ist die Kreisfläche. Ähnlich man mit einem Sechseck verfahren das von an den Kreis gezeichnet ist dessen Seitenmitten also berühren. Schließlich gibt der Mittelwert aus Flächen des äußeren und des inneren Sechsecks ...) wieder eine gute Näherung. Das arithmetische der Ergebnisse der beiden letztgenannten Methoden ist eine sehr genaue Möglichkeit der Annäherung an exakten Wert der Kreisfläche.

Flächenverdoppelung

Die Fläche eines Kreises lässt sich verdoppeln indem ein Quadrat gezeichnet wird dessen Ecke im Kreismittelpunkt liegt und das zwei Ecken auf dem Kreisbogen hat. Durch die Ecke wird ein Kreis um den alten gezogen. Dieses Verfahren wurde im 13. Jahrhundert im Bauhüttenbuch des Villard de Honnecourt



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