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Kreuzprodukt


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Das Kreuzprodukt <math>\vec a\times\vec b</math> (auch Vektorprodukt oder äußeres Produkt ) zweier Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> in dreidimensionalen Vektorraum ist ein Vektor der senkrecht auf der von den Vektoren aufgespannten Ebene steht. Die Länge dieses entspricht der Fläche des Parallelogramms mit den Seiten <math>\vec a</math> und b</math>.

Es gibt zwei solche Vektoren die entgegengesetzte Richtung weisen. Davon wird einer ausgewählt dass <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> mit Vektor ihres Kreuzprodukts ein Rechtssystem bilden.

Das Kreuzprodukt ist neben dem Skalarprodukt <math>\vec a \cdot \vec b</math> ( inneres Produkt ) das zweite wichtige Produkt von zwei Die Kreuz- und Skalarprodukte hängen auch mit Spatprodukt dreier Vektoren zusammen.

Inhaltsverzeichnis

Mathematische Darstellung

Das Vektorprodukt wird mit einem Kreuz Multiplikationszeichen geschrieben:

<math>
 \vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}  
</math>

(<math>\vec{c}</math> ist auch ein Vektor)

Im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum R 3 kann man das Kreuzprodukt von a und b so definieren:

<math>
 \vec{a}\times\vec{b}  

\left|\vec{a}\right| \left|\vec{b}\right| \sin(\theta) \cdot \vec{e}</math> wobei sin(θ) der Sinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen θ <math>\vec{e}</math> der zu beiden Vektoren senkrechte und <math>|\vec{a}|</math> <math>|\vec{b}|</math> die jeweilige Länge der sind.

Orientierung

Es gibt zwei Vektoren <math>\vec{e}</math> die auf <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> stehen sind auf derselben Gerade und weisen in Richtungen). Den korrekten Vektor bestimmt die Orientierung des Vektorraumes. Das heutzutage verwendete Koordinatensystem "rechtshändig" (ein so genanntes Rechtssystem ) d.h. sowohl die Koordinatenachsen (x y und z) als auch Vektoren <math>\vec a</math> <math>\vec b</math> und <math>\vec{a}\times\vec{b}</math> sich wie Daumen Zeigefinger und Mittelfinger der Hand wenn man sie im rechten Winkel zueinander von der Handfläche wegstreckt (daher Rechte-Hand-Regel genannt).

Komponentenweise Berechnung

Im normalen R 3 kann man das Kreuzprodukt einfach komponentenweise

<math>
 \vec{a}\times\vec{b}  
 \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}  
\times
 \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} 

\begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ -(a_1b_3 a_3b_1) \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} </math> Zeile enthält im Kreuzprodukt dabei die Differenz Produkte über Kreuz der anderen beiden Zeilen beginnend mit Die Indizes werden zyklisch permutiert. Dann entsteht ein Rechtssystem. Zahlenwerte kann man einfach einsetzen:
<math>
\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \times \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}

 \begin{pmatrix} 2 \cdot 9 - 3 8 \\ - (1 \cdot 9 - \cdot (-7)) \\ 1 \cdot 8 - \cdot (-7) \end{pmatrix}  

\begin{pmatrix} -6 \\ -30 \\ 22 </math>

Graphische Darstellung

Graphisch lässt sich das Kreuzprodukt darstellen

Der Betrag von <math>\vec a\times\vec b</math> der Fläche des von <math>\vec a</math> und b</math> aufgespannten Parallelogramms.

Wichtige Eigenschaften

Für das Kreuzprodukt gilt das Kommutativgesetz nicht sondern:

<math>\vec{a}\times\vec{b} - \vec{b}\times\vec{a}</math>

Bei Vertauschung der Vektoren ändert sich das Vorzeichen. Man sagt auch: Das Kreuzprodukt antikommutativ .

Sind die Vektoren <math>\vec{a}</math> und <math>\vec{b}</math> so ist ihr Kreuzprodukt der Nullvektor.

Verallgemeinerung

Es gibt eine Verallgemeinerung des Kreuzprodukts n -dimensionale euklidische Räume die allerdings nicht mehr zwei Vektoren verknüpft sondern n -1 Vektoren. Das Kreuzprodukt dieser Vektoren ist Vektor der auf allen normal (senkrecht im des Skalarprodukts) steht und dessen Länge und von den Längen und der Reihenfolge der abhängt.

Diese Verallgemeinerung kann man so definieren:

Sei V ein n -dimensionaler euklidischer K -Vektorraum und a 1 ... a n-1 Vektoren von V . Dann definiert man das Kreuzprodukt als formale Determinante

a 1 × ... × a n -1 := det( E a 1 ... a n -1 )

wobei die a i als Koordinatenvektoren bezüglich einer Orthonormalbasis aufgefasst und E der Spaltenvektor ist dessen Komponenten die sind. Da das nicht Elemente von K (sondern von V ) sind ist das eine formale Determinante die z.B. durch Entwicklung nach ersten Spalte berechnet werden kann und einen in V liefert.

Eine noch weitergehende Verallgemeinerung des Kreuzproduktes die (alternierenden) Multilinearformen dar. Dabei kann dann beliebige Zahl von Vektoren verknüpft werden das ist allerdings im Allgemeinen kein Vektor mehr.

Ableitung der Berechnungsformel im R 3

Für den R 3 mit dem kanonischen Skalarprodukt und der { e 1 =(1 0 0) e 2 =(0 1 0) e 3 =(0 0 1)} folgt aus der allgemeinen auch die Formel für die Komponenten:

<math>
 \vec{a}\times\vec{b}  

\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix} \times \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}

 \det\begin{pmatrix} e_1 & a_1 & b_1 e_2 & a_2 & b_2 \\ e_3 a_3 & b_3 \end{pmatrix}  
=
 \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ -(a_1b_3 a_3b_1) \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}  
</math>

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