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Kugel


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Dieser Artikel behandelt den mathematischen Begriff Kugel. weitere Bedeutungen siehe Kugel (Begriffsklärung) .

Eine Kugel ist in der Mathematik ein Körper der nur aus einer Oberfläche besteht und deshalb hohl ist. Im Zusammenhang wird eine Kugel oft als Festkörper (mathematisch das Innere der Kugel).

Genauer ist eine Kugel die Menge Punkte bzw. der geometrische Ort aller Punkte 3-dimensionalen Euklidischen Raum die den Abstand r von einem festen Punkt des Raumes r ist dabei eine positive reelle Zahl genannt Radius der Kugel.

Eine Kugel mit Zentrum( x 0   y 0   z 0 ) und Radius r ist die Menge aller Punkte ( x y z ) so dass

<math> (x - x_0)^2 + (y y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2

Die Punkte auf der Kugel mit r und Zentrum im Ursprung können wie parametrisiert werden:

<math>x = r \cdot \cos \Phi \sin \theta </math>

<math>y = r \cdot \sin \Phi \sin \theta \qquad (0 \le \theta < \ \wedge {-\pi} < \Phi \le \pi)

<math>z = r \cdot \cos \theta
siehe auch: trigonometrische Funktionen sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten)

Die Oberfläche O einer Kugel mit r ergibt sich als: O = 4π r 2

Das Kugel volumen V berechnet sich als: V = r 3 /3.

Nachfolgend wird eine Ableitung für das dargestellt:

Nach Archimedes wird der Nachweis über Berechnung eines Zylinder - und eines Kegel inhalts geführt. Man nimmt einen Zylinder Grundfläche den Durchmesser der zu berechnenden Kugel und dessen Höhe den Radius der Kugel In diesen Zylinder legt man einen Kegel Spitze im Mittelpunkt des unteren Grundkreises des liegt und dessen Grundfläche mit der oberen des Zylinders identisch ist. Nun kann man dass das Differenzvolumen dieser beiden Körper (Zylinder Kegel) gleich dem Volumen der Halbkugel mit gleichen Durchmesser ist. Schneidet man nämlich beide in einer beliebigen Höhe y ergeben sich Schnittfläche für die Halbkugel eine Kreisfläche und den Restkörper ein Kreisring. Diese Flächen sind groß (siehe Skizze) und damit muss auch Volumen gleich sein.

Aus dem Differenzvolumen Zylinder – Kegel man nun schnell die Kugelformel ermitteln:

Zylinder:

<math>V = \frac{}{}r^2\pi * r = r^3\pi</math>

Kegel:

<math>V = \frac{1}{3} * r^2\pi * = \frac{1}{3}r^3\pi</math>

Restkörper (= Halbkugel):

<math>V = r^3\pi - \frac{1}{3}r^3\pi =

Damit ist das Volumen der Vollkugel:

<math>V = \frac{4}{3}r^3\pi</math>


Die Kugel hat die kleinste Oberfläche allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von Flächen mit vorgegebenen Flächeninhalt umschließt sie das Volumen. Aus diesem Grund tritt die Kugel in der Natur auf: Blasen (siehe Seifenblase ) und Wassertropfen sind Kugeln (ohne Berücksichtigung Gravitation ) weil die Oberflächenspannung versucht die Oberfläche zu minimieren.

Der einer Kugel umschriebene Zylinder hat 3/2-fache Volumen der Kugel. Das sowie die und Volumen-Formeln waren bereits dem Griechen Archimedes der Antike bekannt.

Eine Kugel kann auch als diejenige definiert werden die bei der Rotation eines Kreises um seinen Durchmesser entsteht. Wird der Kreis durch eine Ellipse ersetzt entsteht stattdessen ein Sphäroid.

Kugeln können auf andere Dimensionen erweitert werden. Für jede natürliche Zahl n ist eine n -Kugel definiert als die Menge von Punkten ( n +1)-dimensionalen Euklidischen Raum die den Abstand r von einem festen Punkt des Raumes wobei r eine positive reelle Zahl ist.

Eine 2-Kugel ist also eine gewöhnliche während eine 1-Kugel ein Kreis und eine ein Punkte-Paar ist. Die n -Kugel mit Einheitsradius mit Zentrum im Ursprung mit S n bezeichnet und heißt oft "die" n -Kugel.

Eine n -Kugel ist ein Beispiel einer kompakten n - Mannigfaltigkeit .



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