Kurvendiskussion

Inhaltsverzeichnis

1 Nullstellen 2 Extrempunkte 3 Wendepunkte 4 Polstellen 5 Verhalten im Unendlichen 6 Beispiel: Ganzrationale Funktion 6.1 Nullstellen 6.2 Hoch- und Tiefpunkte 6.3 Wendepunkte 7 Beispiel: Gebrochen rationale Funktion 7.1 Definitionsbereich 7.2 Nullstellen 7.3 Polstellen 7.4 Ableitungen 7.5 Hoch- und Tiefpunkte 7.6 Wendepunkte 7.7 Asymptoten 7.8 Graph

Nullstellen

Um die Nullstellen einer Funktion f zu finden berechnet man die Lösungsmenge der Gleichung f(x) =0. Wie man dabei vorgeht hängt davon welche Funktion man untersucht.

Extrempunkte

Um die Extrempunkte einer 2 mal differenzierbaren Funktion f zu finden setzt man die erste Ableitung von f mit Null gleich das heißt man die Lösungsmenge der Gleichung f '( x )=0. Da diese Bedingung nur eine notwendige keine hinreichende Bedingung ist muss man die noch weiter untersuchen z.B. indem man die Ableitung berechnet. Ist diese kleiner als 0 handelt es sich um einen Hochpunkt (lokales ist diese größer als 0 dann liegt Tiefpunkt (lokales) Minimum) vor ist diese gleich dann muß man weitere Untersuchungen vornehmen.

Anschaulich bedeutet f '( x )=0 dass an dieser Nullstelle x _N die Tangente waagrecht verläuft d.h. eine von "0" hat.

f ''( x ) kleiner 0 besagt dass die Steigung Tangente in der Umgebung des Punktes x _N fällt. Da die Tangente im Punkt _N die Steigung 0 hat muß sie x _N größer als 0 sein also steigen hinter x _N kleiner 0 sein also fallen. Das bedeutet dass die Funktion f(x) vor x _N steigt und hinter x _N fällt. Damit ist f(x _N ) ein Hochpunkt.

Analog folgert man aus f ''( x ) größer 0 dass es sich um Tiefpunkt handelt.

Wendepunkte

Die Wendepunkte einer 2 mal stetig differenzierbaren Funktion f erhält man indem man die zweite mit Null gleichsetzt d.h. die Lösungsmenge der f ''(x)=0 berechnet. Auch hier hat man es mit einer notwendigen Bedingung zu tun sodass Untersuchungen notwendig sind. Wenn zum Beispiel die Ableitung der Funktion f an der fraglichen Stelle ungleich Null so handelt es sich tatsächlich um eine

Polstellen

Um Polstellen zu finden untersucht man ob die Stellen enthält an denen die Funktion nicht ist.

Verhalten im Unendlichen

Um das Verhalten im Unendlichen herauszufinden man x gegen +/- unendlich laufen.

Beispiel: Ganzrationale Funktion

Die zu untersuchende Funktion sei:

<math> f(x) = 3x^3-5x^2+8 </math>

Nullstellen

Mit der Formel von Cardano durch oder mit dem Wissen dass ganzzahlige Nullstellen Teiler des Konstanten Faktors 8 sind findet man die einzige reelle Nullstelle x ₀ = -1:

Hoch- und Tiefpunkte

Die erste Ableitung ist

f '(x) = 9x ² - 10x

Die zweite Ableitung

f ''(x) = 18x - 10

Wendepunkte

Die zweite Ableitung wird für x ₃ =5/9 Null d.h. dort findet sich ein

Polstellen gibt es bei Polynomen nicht die Funktion geht gegen + bzw. -unendlich x gegen + bzw. -unendlich geht.

Beispiel: Gebrochen rationale Funktion

Gegeben ist die Funktion mit der

<math> { f ( x ) = {{x^3 - 4x^2 + 4x} \over </math>

Definitionsbereich

Die Funktion ist nur dort definiert der Nenner ungleich 0 ist. Untersuchung des auf Nullstellen ergibt:

<math>4x^2 - 8x + 4 =

<math>x^2 - 2x + 1= 0</math>

<math>x = 1 + \sqrt {1-1} 1 </math> oder <math>x = 1 - {1-1} = 1 </math>

Die Quadratische Gleichung hat eine doppelte bei x = 1. Nur bei x 1 wird also der Nenner 0. Der ist folglich

<math> \mathbb{D} = \mathbb{R} </math> \ .

(Menge der reellen Zahlen ausgenommen die Wir vermerken bei der Gelegenheit dass der in Linearfaktoren zerlegt als

4(x-1)(x-1) oder 4(x-1) ²

geschrieben werden kann.

Nullstellen

Die Bedingung für Nullstellen ist f(x) 0. Hierzu genügt es dass der Zähler wird solange nicht zugleich der Nenner 0 Untersuchung des Zählers auf Nullstellen ergibt:

<math>x^3 - 4x^2 + 4x = </math>

<math>x ( x^2 - 4x + ) = 0 </math>

<math> x = 0 </math> oder x = 2 + \sqrt {4-4} = </math> oder <math> x = 2 - {4-4} = 2 </math>

Der Zähler hat eine einfache Nullstelle x = 0 und eine doppelte bei = 2. Beide Stellen liegen im Definitionsbereich. hat also die Nullstellen x ₁ = 0 sowie x ₂ = x ₃ = 2 .

Wir vermerken dass der Zähler demnach Linearfaktoren zerlegt als

x(x-2)(x-2) = x(x-2) ²

geschrieben werden kann.

Polstellen

An der Stelle x=1 hat der eine zweifache Nullstelle ohne dass zugleich der 0 wird. Es liegt also eine Polstelle bei x=1 vor. (Sollte der Zähler auch 0 so muss für eine Polstelle die Ordnung Nennernullstelle größer als die Ordnung der Zählernullstelle

Ableitungen

Wir bilden die Ableitungen von

<math> { f ( x ) = {{ x ( x - 2 } \over {4 (x-1)^2 }} </math>

(Die Darstellung in Linearfaktoren ist zweckmäßiger sie das Ausklammern und Kürzen vereinfacht.) Dies zunächst

<math> { f ' ( x } = {{ ( 2 x ( + (x-2)^2 )(x-1)^2 - x (x-2)^2 \cdot (x-1) ) } \over { 4(x-1)^4 }}

<math> = {{ ( 2 x x-2) + (x-2)^2 )(x-1) - 2 x ) } \over { 4(x-1)^3 }} </math>

<math> = {{ ( x - )( 2 x + (x-2))(x-1) - 2 (x-2) ) } \over { 4(x-1)^3 }}

<math> = {{ ( x - )( 3 x - 2)(x-1) - 2 (x-2) ) } \over { 4(x-1)^3 }}

<math> = {{ ( x - )( 3 x^2 - 3x - 2x 2 - 2 x^2 + 4x ) \over { 4(x-1)^3 }} </math>

<math> = {{ ( x - )( x^2 - x + 2 ) \over { 4(x-1)^3 }} </math>

für die erste Ableitung. Dann wird zweite Ableitung

<math> { f (x) } = {{ ((x-2)(2x-1)+(x^2-x+2))(x-1)^3 - (x-2)(x^2-x+2) 3(x-1)^2 } \over { 4(x-1)^6 }} </math>

<math> = {{ ((x-2)(2x-1)+(x^2-x+2))(x-1) - 3(x-2)(x^2-x+2) \over { 4(x-1)^4 }} </math>

<math> = { { 2x^3-x^2-4x^2+2x -2x^2+x+4x-2+x^3-x^2-x^2+x+2x-2-3x^3+3x^2-6x+6x^2-6x+12 \over {(x-1)^4 }} </math>

<math> = {{ -2x + 8 \over { 4(x-1)^4 }} </math>

<math> = { - {x-4} \over }} </math>

und die dritte

<math> { f (x) } = {- { (x-1)^4 - } \over { 2(x-1)^8 }}</math>

<math> = {-{ (x-1)-4(x-4) } \over </math>

<math> = { - {x-1-4x+16} \over </math>

<math> = {{3x-15} \over {2(x-1)^5}} </math>

Hoch- und Tiefpunkte

Hierfür muss f '(x) = 0 Es genügt die Nullstellen des Zählers zu

<math> ( x - 2 )( - x + 2 ) = 0

hat die Lösung x = 2. zweite Klammer hat keine reellen Lösungen. x 2 liegt im Definitionsbereich. Der Funktionswert an Stelle ist f(2) = 0 da oben eine Nullstelle bei x=2 erkannt wurde. Die Ableitung ist an dieser Stelle f''(2) = > 0 es handelt sich also um Tiefpunkt bei (2|0) .

Wendepunkte

Hierzu muss f ''(x) = 0 Es genügt wieder die Nullstellen des Zählers untersuchen.

<math> - (x-4) = 0 </math>

hat eine Lösung bei x = x = 4 liegt im Definitionsbereich. Der an dieser Stelle ist f(4) = ⁴ / ₉ . Die dritte Ableitung an dieser Stelle f'''( ⁴ / ₉ ) = 129 12 also ungleich 0. liegt ein Wendepunkt bei (4| ⁴ / ₉ ) .

Asymptoten

An der Polstelle also bei x 1 liegt eine senkrechte Asymptote. Da der des Zählers (3) größer ist als der Nenners (2) wird f(x) gegen ∞ gehen x gegen ∞. Die Differenz 3-2=1 gibt dass sich der Graph an eine lineare (Gerade) asymptotisch annähern wird. Die Geradengleichung folgt Polynomdivision :

<math> {(x^3 - 4x^2 + 4x) (4x^2-8x+4)} = {{ 1 \over 4 }x {1 \over 2} + {{x-2} \over {4x^2-8x+4}}}</math>

Für x gegen ∞ geht der Term gegen 0. Die Gleichung der Asymptote also

<math> {a(x)} = {{ 1 \over }x - {1 \over 2}}</math>

Graph

Siehe auch Differentialrechnung

Bücher zum Thema Kurvendiskussion

Dieser Artikel von Wikipedia unterliegt der GNU FDL.