Laplace-Operator

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Der Laplace-Operator oder Deltaoperator Δ ist in der mehrdimensionalen Analysis und der Vektorrechnung ein Differentialoperator der die Summe der reinen zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion von mehreren Variablen ermittelt. Er erscheint in vielen Wellengleichungen und bei der Beschreibung von Diffusionsvorgängen .

Für den Fall von n Variablen er definiert als

<math>\Delta=\vec\nabla^2=

\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}.</math>

Dabei ist <math>\vec\nabla</math> der Nabla-Operator . Angewendet auf eine Funktion φ ist die Schreibweise

<math>\Delta\varphi = \operatorname{div}\left(\operatorname{grad}\ \varphi\right) = \vec\nabla\left(\vec\nabla\varphi\right)</math>

möglich. Bezüglich div und grad siehe Divergenz und Gradient . Für eine Funktion φ(x y) von Variablen ergibt sich

<math>\Delta\varphi =

\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial

und im dreidimensionalen analog

<math>\Delta\varphi =

\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2}.</math>

Für eine Funktion in einer Variablen die Anwendung des Laplace-Operators die zweite Ableitung.

Der Laplace-Operator tritt beispielsweise in der

<math>\Delta\varphi = 0</math>

auf. Zweimal stetig differenzierbare Lösungen dieser Gleichung heißen harmonische

Da die Hesse-Matrix die Matrix aller partiellen Ableitungen ist ist der Laplace-Operator gerade Spur der Hesse-Matrix.

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