Leibnizkriterium

Sei ( a _n ) mit n in N eine monoton fallende reelle Nullfolge dann konvergiert die unendliche Reihe

<math> S = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n

Zum Beweis siehe z.B. diesen Weblink .

Beachte: Es genügt nicht dass ( a _n ) nur eine Nullfolge ist die Monotonie notwendig für dieses Kriterium. Betrachte z.B. dieses

<math> a_n =

 \begin{cases} 0 & \mathrm{falls}\ n=0 \\ & \mathrm{falls}\ 0\ne n\ \mathrm{gerade}\\ \frac{4}{(n+1)^2} & n\ \mathrm{ungerade}  

Die Reihe S mit diesen Koeffizienten hat als positive die harmonische Reihe welche divergiert und als Terme die Reihe der reziproken Quadrate welche Insgesamt ist diese Reihe also divergent.

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