Lie-Algebra

Eine Lie-Algebra benannt nach Sophus Lie ist eine algebraische Struktur die hauptsächlich Studium geometrischer Objekte wie Lie-Gruppen und differenzierbare Mannigfaltigkeiten eingesetzt wird.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition 2 Beispiele 3 Homomorphismem Subalgebren und Ideale 4 Klassifikation von Lie-Algebren

Definition

Eine Lie-Algebra ist ein Vektorraum g über einem Körper F (zumeist der Körper der reellen oder Zahlen) mit der Verknüpfung [·  ·] : g × g -> g genannt Lie-Klammer die den folgenden Bedingungen genügt:

• sie ist bilinear das heißt linear in beiden Argumenten: a x + b y z ] = a [ x z ] + b [ y z ] und [ z a x + b y ] = a [ z x ] + b [ z y ] für alle a b aus F und alle x y z aus g ;
• sie genügt der Jacobi-Identität das heißt [[ x y ] z ] + [[ z x ] y ] + [[ y z ] x ] = 0 für alle x y z aus g ;
• [ x x ] = 0 für alle x aus g .

Die erste und dritte Eigenschaft implizieren die Antisymmetrie [ x y ] = − [ y x ] für alle x y aus g außer wenn F die Charakteristik 2 hat. Lie-Klammern sind im allgemeinen assoziativ: [[ x y ] z ] muss nicht gleich [ x [ y z ]] sein.

Beispiele

Jeder Vektorraum bildet eine abelsche eher uninteressante Lie-Algebra wenn man jede als Null definiert.

Der Euklidische Vektorraum R ³ bildet eine Lie-Algebra wenn man die als Kreuzprodukt definiert.

Eine assoziative Algebra A mit einer Multiplikation * kann zu Lie-Algebra gemacht werden indem man [ x   y ] = x  *  y  −  y  *  x definiert. Eine so definierte Lie-Klammer heißt Kommutator von x und y . Umgekehrt kann man zeigen dass sich Lie-Algebra als eingebettet in eine assoziative Algebra einem Kommutator auffassen lässt.

Andere wichtige Beispiele für Lie-Algebren kommen der Differentialtopologie: Vektorfelder auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit bilden eine unendlich-dimensionale Lie-Algebra über der unendlich-dimensionalen) Lie-Gruppe der Diffeomorphismen der Mannigfaltigkeit. Dazu fassen wir Vektorfelder X Y als Operatoren auf die eine Funktion f auf der Mannigfaltigkeit in eine andere und definieren die Lie-Klammer über [ X Y ] f = (XY − YX) f .

Der Vektorraum der linksinvarianten Vektorfelder auf Lie-Gruppe ist unter dieser Operation geschlossen und eine endlich-dimensionale Lie-Algebra. Alternativ kann man sich Vektorraum F der der Lie-Algebra zugrunde liegt als Tangentialraum am Einselement der zugehörigen Lie-Gruppe vorstellen. Multiplikation ist die Ableitung des Kommutators am ( a b ) |-> aba ⁻¹ b ⁻¹ .

Als konkretes Beispiel betrachten wir die SL( n R ) aller n -mal- n Matrizen mit reellen Elementen und Determinante Der Tangentialraum der Einheitsmatrix kann mit dem aller reellen n -mal- n Matrizen mit Spur 0 identifiziert werden die Matrizen-Multiplikation der Lie-Gruppe liefert über den die Lie-Klammer der Lie-Algebra.

Homomorphismem Subalgebren und Ideale

Ein Homomorphismus φ : g -> h zwischen Lie-Algebren g und h über dem gleichen Körper F ist eine lineare Abbildung die die der Lie-Klammer-Verknüpfung erhält: [φ( x )  φ( y )] = φ([ x   y ]) für alle x und y aus g . Lie-Algebren bilden mit ihren Homomorphismen eine Kategorie . Ein bijektiver Homomorphismus heißt wie üblich Isomorphismus ; für alle praktischen Zwecke betrachtet man Lie-Algebren als identisch.

Eine Subalgebra einer Lie-Algebra g ist ein linearer Unterraum h von g der abgeschlossen ezüglich der Lie-Klammer-Verknüpfung ist x   y ] ∈ h für alle x y ∈ h . Eine Subalgebra ist selbst eine Lie-Algebra.

Ein Ideal einer Lie-Algebra g ist ein Unterraum h von g so dass [ a   y ] ∈ h für alle a ∈ g und y ∈ h . Alle Ideale sind Subalgebren. Wenn h ein Ideal von g ist dann wird der Quotientenraum g / h durch die Definition [ x + h y + h ] = [ x y ] für alle x y ∈ g zu einer Lie-Algebra. Die Ideale sind Kerne der Homomorphismen und der Fundamentalsatz über ist anwendbar.

Klassifikation von Lie-Algebren

Reelle und komplexe Lie-Algebren können in Ausmaß klassifiziert werden und diese Klassifikation ist wichtiger Schritt zur Klassifikation der Lie-Gruppen. Jede reelle oder komplexe Lie-Algebra ist nach einem von Ado die Lie-Algebra einer eindeutig bestimmten zusammenhängenden reellen oder komplexen Lie-Gruppe; aber es mehrere Lie-Gruppe sogar mehrere (nicht-einfach) zusammenhängende Lie-Gruppe Algebra haben.

Zum Beispiel haben die Gruppen SO(3) 3×3 Matrizen mit Determinante 1) und SU(2) 2×2 Matrizen mit Determinante 1) dieselbe Lie-Algebra R ³ mit dem Kreuzprodukt und sind deshalb aber nicht global isomorph ( siehe Karten der SO(3)).

Eine Lie-Algebra ist abelsch wenn die Lie-Klammer identisch Null ist.

Eine Lie-Algeba g ist nilpotent wenn die Folge

g > [ g g ] > [[ g g ] g ] > [[[ g g ] g ] g ] > ...

ad( u ): g -> g : ad(u)(v) = [u v]

Eine Lie-Algebra g heißt noch allgemeiner lösbar wenn die Folge

g > [ g g ] > [[ g g ] [ g g ]] > [[[ g g ] [ g g ]] [[ g g ] [ g g ]]] > ...

Eine Lie-Algebra g heißt halb-einfach wenn ihr einziges lösbares Ideal trivial Das ist genau dann der Fall wenn Killing-Form

K ( u v ) = tr(ad( u )ad( v ))

Nach einem Satz von Weyl ist Lie-Algebra über einem Körper der Charakteristik 0 dann halb-einfach wenn jede Darstellung der Algebra ist.

Eine Lie-Algebra heißt einfach wenn sie kein nicht-triviales Ideal hat. einfache Lie-Algebra ist auch halb-einfach und halbeinfache sind direkte Summen von einfachen Lie-Algebren.

Halbeinfache komplexe Lie-Algebren können anhand ihrer Wurzelsysteme klassifiziert werden; diese Klassifikation wurde 1900 von Elie Cartan abgeschlossen.

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