Lie-Gruppe

Eine Lie-Gruppe benannt nach Sophus Lie ist eine mathematische Struktur die insbesondere in der Analysis Geometrie und Physik zur Beschreibung von Symmetrien verwendet wird.

Lie-Gruppen und Lie-Algebren wurden um 1870 von Sophus Lie zur Untersuchung von Symmetrien in Differentialgleichungen unabhängig von Lie entwickelte Wilhelm Killing ähnliche Ideen zum Studium nicht-Euklidischer Geometrien.

Definitionen

Eine Lie-Gruppe ist eine analytische reelle oder komplexe Mannigfaltigkeit die zusätzlich die Struktur einer Gruppe besitzt. Damit die Struktur der Mannigfaltigkeit die der Gruppe miteinander verträglich sind müssen Gruppenverknüpfung und deren Umkehrung analytische Funktionen sein.

Bemerkung: Einige Autoren fordern nur dass die und die Mannigfaltigkeit (d.h. der der Mannigfaltigkeit liegende Atlas) unendlich oft differenzierbar sind. Im Komplexen ist jede unendlich differenzierbare Funktion auch analytisch; im Reellen besteht marginaler Unterschied.

Ein Homomorphismus von Lie-Gruppen H G ist ein Gruppen-Homomorphismus f : H → G der zugleich eine analytische Abbildung ist. kann zeigen dass dafür genügt dass f stetig ist.

Ein Isomorphismus von Lie-Gruppen ist ein bijektiver Lie-Gruppen-Homomorphismus. Lie-Gruppen werden für alle praktischen Zwecke als betrachtet.

Erste Beispiele

Der Euklidische Raum R ⁿ mit der Vektoraddition als Gruppenoperation ist einigermaßen triviale reelle Lie-Gruppe.

Interessantere und typischere Beispiel sind die Gruppen invertierbarer Matrizen mit der Matrixmultiplikation als sowie deren Untergruppen zum Beispiel die SO(3) aller Drehungen im dreidimensionalen Raum.

Klassifikationsmöglichkeiten

Man kann Lie-Gruppen nach ihren Gruppen-Eigenschaften einfach halbeinfach auflösbar nilpotent abelsch (siehe auch Gruppentheorie-Glossar ).

Jede Lie-Gruppe ist eine topologische Gruppe . Somit besitzt eine Lie-Gruppe auch eine topologische Struktur und kann nach topologischen Attributen werden: zusammenhängend einfach-zusammenhängend kompakt.

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