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Lineare Algebra


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Lineare Algebra ist der Zweig der Mathematik der sich mit Vektoren Vektorräumen linearen Abbildungen und linearen Gleichungssystemen befasst. Da der Vektorraum ein wichtiges in vielen Bereichen der Mathematik ist gilt lineare Algebra als eine der Grundlagen der Außerhalb der reinen Mathematik finden sich Anwendungen linearen Algebra u.a. in den Naturwissenschaften und in der Wirtschaftswissenschaft ( Optimierung ).

Der Ursprung der linearen Algebra findet in systematischen Betrachtungen von Vektoren im 2- und 3-dimensionalen (euklidischen) Raum "Anschauungsraum" genannt. Hier entspricht einem Vektor eine einer bestimmten Länge (der Betrag des Vektors) eine der zwei möglichen Richtungen. Vektoren dieser lassen sich nutzen um physikalische Größen (etwa anschaulich darzustellen. Die Multiplikation eines Vektors mit Zahl sowie das Addieren von Vektoren bilden Rechenoperationen in einem aus Vektoren gebildeten Vektorraum.

Die Verallgemeinerung zu mehrdimensionalen (abstrakten) Vektorräumen unanschaulich ist wesentlicher Bestandteil der linearen Algebra. werden der mathematische Ring aller linearen Abbildungen die als Matrizen darstellbar sind wichtige Hilfsmittel. Ein Vektorraum nur dann vollständig charakterisiert wenn der Zahlenkörper über dem der Vektorraum definiert ist ist. Typische Zahlenkörper sind die reellen oder komplexen Zahlen .

Wichtige Begriffe der Linearen Algebra die unter Vektorraum beschrieben werden sind die Basis eines Vektorraums die Eigenschaften linearer Abbildungen und von Determinanten sowie das Skalarprodukt .

Beispiele wichtiger Vektorräume sind der Banachraum und der Hilbertraum .

Inhaltsverzeichnis

Schreibweise

Vektoren können durch ihre Komponenten beschrieben die (je nach Anwendung) als (hier 3-dimensionaler)

<math>\mathbf{a}=\begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}</math>

oder (hier 4-dimensionaler) Zeilenvektor

<math>\mathbf{b}=\begin{pmatrix} 4 & 6 & 3 & \end{pmatrix}</math>
geschrieben werden.

In der Literatur werden Vektoren unterschiedlich anderen Größen unterschieden: Es werden Kleinbuchstaben fettgedruckte unterstrichene Kleinbuchstaben oder Kleinbuchstaben mit einem Pfeil benutzt. Dieser Artikel verwendet Kleinbuchstaben.

Eine Matrix wird durch ein 'Raster' Zahlen angegeben. Hier ist eine 2-dimensionale Matrix 4 Zeilen und 3 Spalten):

<math>\mathbf{M}=\begin{pmatrix}
8 & 2 & 9 \\ & 8 & 2 \\ 8 & & 7 \\ 5 & 9 & \end{pmatrix}</math> Matrizen werden meistens mit Großbuchstaben bezeichnet.

Einzelne Elemente eines Vektors werden bei in der Regel durch einen Index angegeben: 2. Element des oben angegebenen Vektors a wäre dann a 2 =7. In Zeilenvektoren wird manchmal eine Hochzahl wobei man aufpassen muss ob eine Vektorindizierung ein Exponent vorliegt: Mit dem obigen Beispiel b hat man etwa b 4 =7 .

Matrixelemente werden durch zwei Indizes angegeben. werden die Elemente durch Kleinbuchstaben dargestellt: m 2 3 =2 ist das Element der 2. Zeile der 3. Spalte.

Rechenregeln

Sowohl Vektoren als auch Matrizen werden addiert:

<math>\begin{matrix}
\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 9 &+& \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 2 &=& \begin{pmatrix} 4 \\ 9 \\ 11 \\ \\ \begin{pmatrix} 2 & 8 & \\ 2 & 9 & 4 \\ & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} &+& 3 & 7 & 1 \\ 8 4 & 6 \\ 7 & 3 4 \\ \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 5 & & 4 \\ 10 & 13 & \\ 14 & 6 & 5 \\ \end{matrix}</math>

Die Multiplikation mit einer Zahl (Skalarmultiplikation Multiplikation) erfolgt durch Multiplikation jedes Vektor- oder mit der Zahl.

<math>
\begin{matrix} 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ \\ 1 \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 6 \\ \\ 2 \end{pmatrix} \\ \\ 2 \cdot 3 & 8 & 4 \\ 9 4 & 1 \\ 4 & 7 2 \\ \end{pmatrix} &=& \begin{pmatrix} 6 & & 8 \\ 18 & 8 & \\ 8 & 14 & 4 \\ \end{matrix} </math>

Damit eine Multiplikation zweier Matrizen definiert kann muss die Anzahl der Spalten der Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix sein. Die anschauliche Merkregel zur Matrixmultiplikation zweier Matrizen zu C = A * ist dass man ein Element c i j der Matrix C aus dem Produkt i-ten Zeile der Matrix A mit der Spalte der Matrix B erhält. Nach den genannten Bedingungen ist sichergestellt dass eine Zeile A genausoviele Elemente wie eine Spalte in enthält. Dann kann man das Produkt von mit Spalte als die Summe der paarweisen (erstes Element der Zeile * erstes Element Spalte + ... + letztes Element der * letztes Element der Spalte) definieren. Da formal einen Vektor als eine Matrix mit Zeile oder einer Spalte auffassen kann fallen zwischen Matrix und Vektor ebenfalls unter diese

Formal definiert man die Matrixmultiplikaton C A * B durch

<math>c_{ij} = \sum^{n}_{k=1}{a_{ik}b_{kj}}</math>

Lineare Gleichungssysteme

Eine wichtige Anwendung der Linearen Algebra das Lösen linearer Gleichungssysteme. Beispielsweise kann man lineare Gleichungssystem

<math>\begin{matrix}
x_1 &+& x_2 &+& 2x_3 &=& \\ 2x_1 &+& 3x_2 &+& 3x_3 &=& \\ 4x_1 &+& 6x_2 &+& 5x_3 &=& \\ \end{matrix}</math> für das die Lösungswerte für x 1 x 2 und x 3 berechnet werden sollen in eine Matrix- Vektorgleichung A * x = b umformen:
<math>\mathbf{A} =
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 2 & 3 & 3 \\ 4 6 & 5 \\ \end{pmatrix} \mathbf{x} = x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} </math>

Rechenverfahren

Der Gauß-Algorithmus ist ein Standardverfahren zum Lösen linearer

Die Cramersche Regel zur Lösung von linearen Gleichungssystemen.

Das Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren zur Konstruktion von Orthonormalbasen

Literatur



Bücher zum Thema Lineare Algebra

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