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Lineare Funktion


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Im mathematischen Sprachgebrauch werden Funktion und Abbildung heute weitgehend synonym verwendet. Traditionell findet Begriff der Abbildung sich eher im Bereich der Linearen Algebra während in der Analysis der Begriff Funktion verbreiteter ist.

Die Begriff lineare Funktion wird nicht einheitlich gebraucht. Zum einen lineare Funktion dasselbe wie eine lineare Abbildung . Lineare Funktionen in diesem Sinne findet man z.B. der Differentialgeometrie wobei es sich um lineare von einem (Tangential-)Vektorraum in die reellen Zahlen handelt.

Andererseits wird mit dem Begriff lineare Funktion oft (besonders in der Schule) eine der Form

<math>f:\quad\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\quad\mbox{mit}\quad x\mapsto f(x)=m\;x+n </math>
also ein Polynom erster Ordnung bezeichnet. Eine solche Funktion auch allgemeine lineare Funktion oder linear-inhomogene Funktion genannt. Im mathematisch strengen Sinn handelt sich dabei jedoch um eine affine Abbildung . Für den Spezialfall <math>n=0</math> wird daraus lineare Funktion im eigentlichen Sinne auch als homogene lineare Funktion oder Proportionalität bezeichnet.

Der Graph dieser einfachen Funktion ist Gerade (umgangssprachlich eine Linie). In kartesischen Koordinaten y)</math> erfüllen solche Geraden also die Gleichung

<math>y = m\;x + b</math>
wobei x (die Abszisse ) unabhängige und y (die Ordinate ) abhängige Variablen sind. Die Zahl m gibt den linearen Faktor oder die der Geraden an. Die Zahl b ist die Inhomogenität oder der y-Achsenabschnitt .

Lineare Funktionen sind die einfachsten Funktionen der Mathematik. Sie sind stetig und differenzierbar . Viele Probleme lassen sich für lineare leicht lösen; daher versucht man oft komplizierte durch lineare Zusammenhänge zu approximieren.



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