Lineare Unabhängigkeit

Zum Beispiel sind im dreidimensionalen Euklidischen Raum R ³ die Vektoren (1 0 0) (0 0) und (0 0 1) linear unabhängig (2 -1 1) (1 0 1) und -1 2) nicht linear unabhängig sind (denn dritte Vektor ist die Summe der ersten Vektoren die nicht linear unabhängig sind nennt linear abhängig .

Definition

Sei V ein Vektorraum über einem Körper K . Seien v ₁ v ₂ .. v _n Elemente von V . Man sagt diese Vektoren sind linear abhängig über K falls Koeffizienten a ₁ a ₂ .. a _n aus K existieren die nicht alle gleich 0 so dass:

<math> a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + + a_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}</math>

oder kürzer:

<math> \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0}</math>

(Beachte dass die Null auf der Seite das Nullelement des Vektorraums V ist nicht die Null von K .)

Wenn solche Koeffizienten nicht existieren dann man die Vektoren v ₁ v ₂ ... v _n linear unabhängig .

Eine unendliche Menge S von Vektoren heißt linear unabhängig falls endliche Teilmenge von S linear unabhängig ist.

Gleichbedeutend aber direkt auf lineare Unabhängigkeit ist die folgende Definition. Die Vektoren v ₁ v ₂ ... v _n sind linear unabhängig falls gilt:

Sind a ₁ a ₂ ... a _n Elemente von K so dass:

a ₁ v ₁ + a ₂ v ₂ + ... + a _n v _n = 0

dann ist a _i = 0 für alle i =1 2 ... n .

Das Konzept der linearen Unabhängigkeit ist weil eine linear unabhängige Menge von Vektoren einen Vektorraum aufspannt eine Basis dieses Vektorraums ist durch die sich Element des Raums eindeutig darstellen lässt.

Beispiele

Sind z.B. aus dem englischen Artikel zu

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