Lineare Abbildung

Definition

<math> a f\left(x\right)=f\left(a x\right) \quad {\rm </math>

<math> f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)\quad{\rm (Additivitaet)} </math>

Lineare Abbildung: endlichdimensional

Ebenso kann jede n×n Matrix A über dem Körper K bei Wahl zweier Basen B ₁ und B ₂ als lineare Abbildung von V nach V angesehen werden indem für den Vektor v sein Koordinatenvektor bzgl. B ₁ mit der Matrix von links multipliziert und der Bildvektor als Koordinatenvektor bzgl. B ₂ aufgefasst wird. Hat die Matrix dabei Rang also eine Determinante ungleich 0 so ist diese lineare sogar ein Automorphismus auf V .

Gerade daher sind lineare Abbildungen in Theorie der Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen so Ein homogenes Gleichungssystem (also eins wo die Seite" immer 0 ist) aus n Gleichungen und n Unbekannten kann als Lineare Abbildung aufgefasst indem man die Koeffizienten der Unbekannten in Matrix schreibt und mit dem ( x y z ...) Vektor der Unbekannten multipliziert und Ergebnis die rechte Seite der Gleichungssysteme wählt.

x + 2y + 3z =
5x - 3y + 8z =
3x - 2y - z =

Sei A die Matrix <math> \begin{pmatrix}

 1 & 2 & 3 \\ & -3 & 8 \\ 3 & & -1 \end{pmatrix}  

Man kann sehen dass gilt: A*v 0 und so wieder die Abhängigkeiten wie den Gleichungssystemen wie oben gelten (einfach mal ausmultiplizieren).

Und hier kommt die Eigenschaft der Abbildungen ins Spiel:

Der Lösungsraum für A*v = 0 ist damit der Kern der Abbildung

Wie im Artikel Homomorphismus steht ist der Kern einer Abbildung dann trivial wenn die Abbildung injektiv ist.

Injektiv bedeutet dass die rechte Seite einmal "getroffen" wird. Also gibt es nur einzige Möglichkeit für v um die rechte Seite zu treffen die "triviale" (der Nullvektor). Wenn man also dass die Abbildung injektiv ist dann weiß direkt das obiges Gleichungssystem nur eine Lösung nämlich x=0 y=0 z=0. (Dieses geht natürlich für mehr Variablen und Gleichungen).

Nun kann man feststellen ob eine injektiv ist indem man die Determinante der betrachtet. Denn die Abbildung ist injektiv genau wenn die Determinante ungleich 0 ist. Und ist schnell auszurechnen.

Wenn hingegen die Determinante gleich 0 dann muss man hingehen und den Rang Matrix betrachten. Der Rang einer Matrix ist Dimension des Spalten- bzw. Zeilenraums der Matrix sind gleich). Man kann ihn ausrechnen indem die Matrix durch elementare Zeilenumformungen in eine Dreiecksmatrix umformt und die Anzahl der "0"-Zeilen n abzieht.

Sei m := n - rang(A). Kern der Abbildung hat dann genau die m. Der Lösungsraum der Matrix hat also Dimension m. In der Schulmathematik spricht man von "unendlich vielen" Lösungen da man als nur den Körper der reellen Zahlen betrachtet dort kennt man auch keine endlichen Körper.

Im Fall dass auf der rechten der Gleichungen des Gleichungssystem nicht der Nullvektor (ein so genanntes inhomogenes Gleichungssystem ) dann ist der Lösungsraum für diese um eine spezielle Lösung für diese Gleichungen Vergleich zu dem homogenen Gleichungssystem mit diesen verschoben wie man sagt -- der Lösungsraum also verschoben.

Man erhält ihn indem man eine Lösung für v ausrechnet. Der Lösungsraum ist L = Kern(A) + Lösung.

Lineare Abbildungen: unendlichdimensional

Die linearen Abbildungen bilden einen Vektorraum: von zwei Operatoren A und B:

<math> (A+B): x \to Ax + </math>

Skalare Multiplikation:

<math> (\lambda A): x \to \lambda.Ax

Falls die zugrundeliegenden Vektorräume Banachräumen sind dann bilden die linearen Operatoren einen Banachraum mit der Operatornorm :

<math> \|A\| := \sup_{\|x\| \leq 1} </math>

Viele Eigenschaften von Matrizen lassen sich den unendlichdimensionalen Fall veralgemeinern: Siehe adjungierter Operator Eigenwert Spektum.

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