Lipschitz-Stetigkeit

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Lipschitz-stetig ist ein Begriff aus der Analysis. Funktion f:x→y erfüllt in einer (in ihrem Definitionsbereich offenen Menge U die Lipschitz-Bedingung wenn folgendes gilt:

<math> \exists M > 0 : x_1 x_2 \in U : \left| f(x_1)-f(x_2)\right| M \cdot \left| x_1-x_2 \right| </math>

In diesem Fall sagt man f sei Lipschitz-stetig auf U und M wird Lipschitz-Konstante genannt. Existiert ein (maximales) M im gesamten Definitionsgebiet G so erfüllt f eine gleichmäßige Lipschitz-Bedingung in G . Im mehrdimensionalen erfolgt die Definition der analog über eine entsprechende Norm . Abbildungen mit einer Lipschitz-Konstante kleiner als nennt man Kontraktion.

Nach dem Satz von Rademacher ist eine Lipschitz-stetige Funktion fast überall stetig differenzierbar . Sie ist ferner überall stetig .

Lipschitz-Stetigkeit ist ein wichtiges Konzept in Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen um Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen beweisen.

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