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Logarithmus


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Der Logarithmus ist eine mathematische Funktion (Formelzeichen "log"). Er ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion (abgekürzt "exp").

Sowohl Exponentialfunktion als auch Logarithmus sind durch eine bestimmte im folgenden a genannte Basis definiert und hängen dann folgende Beziehung zusammen:

Für a > 0 gilt: Wenn y = a x dann ist x = log a ( y ) (Lies: x ist der Logarithmus von y zur a ).
Wer glaubt mathematische Schreibweisen seien komplizert statt dessen: x ist die Zahl mit der man Basis a potenzieren muss um y zu erhalten.

In den reellen Zahlen ist der Logarithmus für Null und negative Zahlen nicht definiert.

Begründungen:

  • x = log a ( 0 ) müsste dann 0 = a x bedeuten. Was aber nicht der Fall wenn a ungleich Null ist.
  • (als Beispiel die negative Zahl -1) x = log a ( -1 ) müsste dann -1 = a x bedeuten. Was aber nicht sein kann a größer Null ist.

In der Funktionentheorie in der Funktionen von komplexen Zahlen betrachtet werden kann man den Logarithmus für negative Zahlen definieren (siehe "Komplexer Logarithmus").

Inhaltsverzeichnis

Der Logarithmus als Größenmaßstab

Der Logarithmus einer Zahl x zu Basis b gibt in gewisser Weise an wieviele diese Zahl hat. Beispielsweise ist
log 10 (1) = 0 weil 10 0 = 1
log 10 (10) = 1 weil 10 1 = 10
log 10 (100) = 2 weil 10 2 = 100
log 10 (1000) = 3 weil 10 3 = 1000
etc.

Man nennt diesen ganzzahligen Wert auch Kennzahl .

Der Logarithmus als Rechenhilfe

Im Normalfall tauchen beim Logarithmieren auch auf die Mantisse genannt werden. So ist log 10 (3) ≈ 0 47712. Multipliziert man eine mit der Basis ändert sich zwar die nicht aber die Mantisse es ist also 10 (3*10) = log 10 (30) ≈ 1 47712. Bevor elektronische Rechenmaschinen Verfügung standen nutzte man dies aus um Multiplikationen zu Additionen und Divisionen zu Subtraktionen zu vereinfachen. Als Hilfsmittel verwendete man oftmals Rechenstäbe ( John Napier ) oder Logarithmentafeln . Siehe dazu die ersten beiden Rechenregeln Ende des Artikels.

Anwendungen des Logarithmus

Anwendungen des Logarithmus finden sich vielfach der Wissenschaft wenn der Wertebereich viele Größenordnungen umfasst. Daten werden entweder direkt mit logarithmischen Skala dargestellt oder die Einheiten selbst
  • pH-Wert (Säurewert von chemischen Lösungen) (Anmerkung: In Chemie kann man logarithmische Skalen i.a. am p erkennen z.B. beim pKs- oder pKb-Wert)
  • dB ( Dezibel ) z.B. Messung von Lautstärke elektronischer Dämpfung
  • bit = Informationseinheit = Messung der Informationsmenge .

Natürlicher und andere spezielle Logarithmen

Der Logarithmus zur Basis e (der Eulerschen Zahl ) wird auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet mit "ln" abgekürzt:

Wenn y = e x dann ist x = log e ( y ) = ln( y ).
Man spricht vom Natürlichen Logarithmus weil sowohl die Exponentialfunktion als auch Logarithmus zur Basis e in vielen Zusammenhängen ( Integralrechnung Differenzialrechnung Komplexe Zahlen Trigonometrie ) auftreten. Zudem lässt sich der natürliche sehr einfach Integrieren und Differenzieren .

Der Logarithmus zur Basis 10 wird oft mit "lg" abgekürzt; er dekadischer Logarithmus oder auch Briggscher Logarithmus benannt nach dem Mathematiker Henry Briggs .

Der Logarithmus zur Basis 2 - abgekürzt mit "lb" oder "ld" heisst binärer Logarithmus dualer oder dyadischer Logarithmus.

Abkürzungen

  • log a : allgemeiner Logarithmus mit der beliebigen Basis a
  • ln = log e : Natürlicher Logarithmus zur Basis e
  • lg = log 10 : Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus)
  • lb = ld = log 2 : Logarithmus zur Basis 2 binärer Logarithmus Logarithmus Zweierlogarithmus

Basisumrechnung

Man kann Logarithmen zu einer Basis a in Logarithmen zu einer anderen Basis b umrechen:

<math>log_b(r) = \frac{\log_a(r)}{\log_a(b)}</math>
Denn: schreibe den linken Ausdruck um: <math>\log_b(r) x \Leftrightarrow b^x = r</math>(Definition des Logarithmus)
<math>b^x = r \Leftrightarrow \ln(b^x) = \Leftrightarrow x \cdot \ln(b) = \ln(r) \Leftrightarrow = \frac{\ln(r)}{\ln(b)}</math>
Tabellenwerke oder Taschenrechner stellen i.a. Logarithmen Basis 10 und natürliche Logarithmen zur Verfügung. obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu beliebigen Basis berechnen.

Beispiel

<math>\log_{10}(8) = \frac{\log_2(8)}{\log_2(10)} \approx \frac{3}{3 32} 0 90 </math>

wobei <math>\log_{2}(8) = \frac{\log_{10}(8)}{\log_{10}(2)}</math>

Rechenregeln mit Beispiel

Die Rechenregeln lassen sich mit Hilfe Potenzgesetze begründen.
Rechenregel Beispiel
<math>\log_b(u \cdot v) = \log_b(u) + _b(v)</math> <math>\log_{10}(10 \cdot 100) = \log_{10}(10) + = 1 + 2 = 3</math>
<math>\log_b \left( \frac{u}{v} \right) = \log_b(u) \log_b(v)</math> <math>\log_{10} \left( \frac{100}{10} \right) = \log_{10}(100) log{10}(10) = 2 - 1 = 1</math>
<math>\log_b(u^z) = z \cdot log_b(u)</math> <math>\log_{10}(100^2) = 2 \cdot log_{10}(100) = \cdot 2 = 4</math>
<math>\log_b(u^{1/z} ) = \log_b(\sqrt[z]{u}) = \frac{1}{z} \log_b(u)</math> <math>\log_{10}(\sqrt[2]{100}) = \frac{1}{2} \cdot \log_{10}(100) = \cdot 2 = 1</math>
<math>\log_a \left( \frac{1}{x} \right) = -\log_a(x)</math> <math>\log_{10} \left( \frac{1}{100} \right) = -\log_{10}(100) -2</math>
<math>\log_a(1) = 0</math> <math>\log_{10}(1) = 0</math>
<math>\log_a(a) = 1</math> <math>\log_{10}(10) = 1</math>

Ableitung und Integral des Logarithmus

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist gegeben durch einfache Gleichung:
<math>(\ln{x})' = \frac{1}{x}</math>
Für allgemeine Logarithmen gilt:
<math>(\log_b{x})' = \frac{1}{x\ln{b}}</math>

Das unbestimmte Integral des natürlichen Logarithmus erhält man mit Integration:

<math>\int{\ln{x}\ \mathrm{d}x} = \int{1\cdot\ln{x}\ \mathrm{d}x} = x\cdot\ln{x}-\int{x\cdot\frac{1}{x}\ = x\ln{x}-x</math>

Komplexer Logarithmus

Betrag von ln(z)

Realanteil von ln(z)

Imaginäranteil von ln(z)

Analog zur reellen Defintion heißt jede Zahl w mit <math>e^{w} = z</math> ein Logarithmus von z. Dies ist im Unterschied reellen Logarithmus jedoch nicht eindeutig da gilt:
<math>e^{2k\pi i} = 1 \ k \in
Ist also <math>w_{0}</math> ein Logarithmus von so ist auch <math>w = w_{0} + i</math> ein Logarithmus von z:
<math>e^{w} = e^{w_{0} + 2k\pi i} = \cdot e^{2k\pi i} = e^{w_{0}} \cdot 1 e^{w_{0}} = z</math>
Indem man <math>w</math> auf einen Streifen
<math>\left\{w \in \mathbb{C}: -\pi < \Im{(w)} \leq \right\}</math>
einschränkt kann man Eindeutigkeit erreichen. Dieses heißt Hautpwert des Logarithmus und man schreibt <math>w = \ln{(z)}</math>. man z in Polarkoordinaten dar so erhält den k-ten Zweig der Logarithmusfunktion :
<math>w = \ln{|z|} + i\arg{(z)} + 2k\pi \ k \in \mathbb{Z} </math>
Für <math>k = 0</math> hat man den Hauptzweig des Logarithmus:
<math>\ln{(z)} = \ln{|z|} + i\arg{(z)}</math>
ln(z) ist nicht stetig auf <math>\mathbb{C} \{0\}</math>. Entfernt man jedoch die negative reelle so ist ln(z) auf <math>\mathbb{C} \setminus \{x \mathbb{R}: x \leq 0\}</math> stetig und sogar holomorph .

Mit dem Hauptzweig des komplexen Logarithmus man den Logarithmus von negativen reellen Zahlen

<math>\ln{(-x)} = \ln{|-x|} + i\arg{(-x)} = \ln{(x)} i\pi \ x \in \mathbb{R}^{+}</math>

Interdisziplinäres

  • In der belebten Natur finden sich zahlreiche logarithmischer Spiralen so z.B das Wachstum von Schneckenhäusern die Anordnung der Kerne auf der Sonnenblume .
  • Zeitskalen werden vom Menschen logarithmisch wahrgenommen. Das dass sich - zumindest subjektiv in den 100 Jahren ebensoviel ereignet hat wie in 900 Jahren zuvor. Logarithmische Zeitskalen finden sich der Geschichte der Technologie ebenso wie in der geologischen Zeitskala

Weblinks


Logarithmusrechner mit Quelltext
http://www.madeasy.de/2/log.htm



Bücher zum Thema Logarithmus

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