 |
powered by 
|
| Nachrichten | Lexikon | Protokolle | Bücher | Foren | Sonntag, 19. Mai 2013 |
LogikDieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier. Formale Logik -- Hutschi 12:46 24. Apr 2004 Die Logik beschäftigt sich mit den Normen des Schließens. Sie untersucht unter welchen Bedingungen das einer Aussage aus einer Menge anderer Aussagen korrekt und entwickelt hierzu formale Systeme zur exakten Beschreibung der untersuchten Schlussregeln . Sie ist ein Teilgebiet der Philosophie und teilweise auch der Mathematik hat Querbezüge u.a. zur Linguistik und ist letztlich Grundlage für alle Wenn Logik und Intuition zu unterschiedlichen Ergebnissen gelangen oder wenn Schließen zu Widersprüchen führt so kann ein Paradoxon entstehen.
TeilgebieteDie wichtigsten Teilgebiete der elementaren formalen Logik sind die klassische Aussagen- und Prädikatenlogik .Die bis zum 19. Jahrhundert dominante Syllogistik die auf Aristoteles zurückgeht lässt sich ein Vorläufer der Prädikatenlogik verstehen. Traditionell gehört die Lehre von so genannten Fehlschlüssen und allgemein die Beschäftigung mit praktischen des Argumentierens zum Bereich der Logik. Logische Systeme (Kalküle) werden unter anderem in axiomatische Logikkalküle und Systeme natürlichen Schließens . Die klassische Aussagen- und Prädikaten-Logik lässt grundsätzlich in zwei Weisen modifizieren: Einerseits kann die Sprache um weitere für bestimmte Redebereiche angereichert werden. Die Modallogik beschäftigt sich mit Ausdrücken wie "notwendig" "möglich"; die deontische Logik mit "geboten" oder die epistemische Logik mit "wissen" und glauben". Andererseits können Prinzipien die in der Logik gültig sind problematisiert werden. Die daraus im engeren Sinne nicht-klassischen Logiken sind schwächer die klassische Logik. Hierzu gehören der von E. J. Brouwer entwickelte logische Intuitionismus der die Gültigkeit des "tertium non ¬ p ∨ p und der "duplex-negatio"-Regel → p bestreitet der Minimalkalkül I. Johanssons der das "ex falso quodlibet" ¬ p (p → q) zurückgewiesen wird sowie die hieran anschließenden Relevanzlogiken. Quer hierzu stehen die mehrwertigen Logiken in denen der aristotelische "Satz vom Dritten" außer Kraft gesetzt wird wie die Logik und die unendlichwertige Logik von Jan Łukasiewicz ("Warschauer Schule") die in der Fuzzy-Logik praktische Anwendung finden und die endlichwertige von Gotthard Günther ("Günther-Logik") die auf Probleme sich selbst erfüllende Voraussagen in der Soziologie angewandt wird.
Wissensrepräsentation mit LogikWissenbasiertes SystemVerwendet man die klassische Logik als eines wissensbasierten Systems spricht man von einem SystemKlassisch-logisches SystemEin solches logisches System lässt sich zwei grundlegende Komponenten aufteilen. Die erste der Komponenten eines klassisch-logischen Systems ist die sogenannte um das menschliche Schließen zu modellieren. Die Komponente besteht aus einer Repräsentationssprache in der Wissensbasis der Kern des wissensbasierten Systems formuliert kann. Die Aufgabe dieser Repräsentationssprache wird im System von den klassischen Logiken übernommen. Das dass das vorhandene Wissen in prädikatenlogischen Formeln wird. Das wichtigste Potential des auf diesen Komponenten definierten klassich-logischen Systems besteht jedoch in Inferenz von Wissen selbst.Wird die Inferenzrelation entsprechend logischen Repräsentationsprache definiert so ergibt sich die Wissen zu inferieren das bedeutet aus bereits dem System vorhandenem Wissen neues Wissen über Inferenzrelation abzuleiten.
Inferenz im klasisch-logischen SystemAus der Einteilung der Inferenz in Induktion und Abduktion ergibt sich dass sowohl als auch Abduktion als Schlussfolgerungsmechanismen nicht notwendigerweise sind. Somit stellt Deduktion die einzig sichere im Schluss dar (vgl. 3-Teilung der Inferenz Peirce (1839-1914)) weil das in diesem Fall Wissen immer wahr ist. Aufgrund dieser Eigenschaft logische Systeme die deduktive Instanz der Inferenz Modellierung des logischen Folgerungsoperators. Eine korrekte Schrittfolge Inferenzprozedur in deren Verlauf neues Wissen B vorhandenem Wissen W abgeleitet wird bezeichnet man als Beweis. Mit Verwendung einer derartig deduktiven wird es allerdings unmöglich einmal als wahr Schlussfolgerungen wieder zu revidieren. Daher ist es klassisch-logischen Systemen die auf rein deduktiven Verfahren unmöglich nicht-monotones Schließen als fundamentales Merkmal menschlicher korrekt zu modellieren. Ein möglicher Lösungsansatz der Defekt im Inferenzmodell des logischen Systems beheben besteht in der graduellen Abstufung der Korrektheit Ableitungen. Diese Abstufung kann auf zwei Arten werden. Auf der einen Seite geschieht dies Verwendung von Wahrscheinlichkeiten. Indem Ableitungen über Prozentzahlen werden erhält man eine probabilistische Logik in graduelle Abstufungen durchaus möglich sind. Auf der Seite wird die graduelle Abstufung von Schlussfolgerungen Fuzzy-Logik durch die Verwendung von Gradzahlen zur vager Prädikate ermöglicht.
Aufbau eines logischen SystemsGrundkomponenten
Die Signatur ΣDie mengentheoretische Intuition hinter dem Begriff Signatur ist eine Menge aus Namen und durch die alle Elemente einer zu repräsentierenden W formalisiert werden. Genauer gesagt handelt es bei den Elementen einer Signatur um Namen nach Prädikaten und Funktoren klassifiziert und nach Stelligkeit differenziert werden.
Signaturen in der Aussagenlogik enthalten als nullstellige Namen oder Bezeichner die auch als bezeichnet werden. Beispiel: <math>\Sigma_{AL}=\{Schnee schneit Sonne kalt\}</math>
Mit
Aufgrund der Tatsache dass die Aussagenlogik echte Teilmenge der Prädikatenlogik 1. Stufe ist die Menge aller prädikatenlogischen Signaturen ebenso die aller aussagenlogischen Signaturen als echte Teilmenge. Daraus dass die Aussagenvariablen durch nullstellige Prädikate modelliert könen. Diese können atomare Formeln also die der Aussagenlogik darstellen. Beispiel: <math>\Sigma_{PL1}=\{Schneewegschaufeln(x y) Mann Gehweg Kinder Einfahrt\}</math>
Die Menge der Interpretationen Int(Σ)Die wichtigste Eigenschaft einer Interpretation innerhalb logischen Systems besteht darin dass sie zusammen der Erfüllungsrelation die Verbindung zwischen der Syntax Form der Signatur <math>\Sigma</math>) der Repräsentationssprache und Semantik von Aussagen herstellt indem sie die der Signatur zu Objekten einer Wissensbasis W
Bei der Interpretation einer aussagenlogischer Signatur jeder Aussagenvariable aus der Signatur <math>\Sigma</math> ein zugeordnet. Diese Zuordnung erfolgt durch eine Interpretation für die gilt:
Dabei bezeichnet die Menge Int(<math>\Sigma</math>) die aller Funktionen von einer gegebenen Signatur <math>\Sigma</math> <math>\{0 1\}</math>. Diese <math>\sigma</math>-Interpretation einer Signatur <math>\Sigma</math> auch Belegung genannt weil durch diese Funktion Aussagenvariable mit einem Wahrheitswert belegt wird.
wobei gilt:
U_I | p \in Pred\; mit\; n \in N\}</math> Eine Interpretation I in PL1 bildet und Prädikaten der Signatur auf Objekte der repräsentierenden Welt über dem Universum U gemäß Tabelle ab:
Beispiel: Seien Signatur <math>\Sigma=(\{eins^0 plus^2\} \{gleich^2\})</math> mit = p mit Stelligkeit i und Interpretation
Die Menge der Formeln For(Σ)Die Menge der Formeln über eine <math>\Sigma</math> ist ein wesentlicher Bestandteil eines logischen Formeln bilden die syntaktische Repräsentation von Objekten zu repräsentierenden Welt W von Aussagen über Objekte sowie von Sachverhalten mit denen die W beschrieben wird. Eine wesentliche Eigenschaft der eines logischen Systems ist ihre Wohlformuliertheit (engl. well-formed formula). For(<math>\Sigma</math>) enthält alle die sich entsprechend der voregebenen Grammatik für aus den Elementen der Signatur <math>\Sigma</math> bilden Genau für diese Formeln gilt die Eigenschaft Wohlformuliertheit.
Beispiel: Sei eine Signatur <math>\Sigma</math> = {Mo Mi Do Fr Sa So} gegeben. So z.B. die folgenden Formeln gebildet werden:
\Rightarrow Sa \wedge So</math>
Beispiel: Sei eine Signatur Beispiel: = {Vater(x y) Großvater(x y)} gegeben seien x y z Variablen so lässt daraus die folgende Formel ableiten: <math>\forall x.\forall z:</math>Vater(x y)<math>\wedge</math> Vater(y z)<math>\Rightarrow</math>Großvater(x z) Sei ferner eine Signatur <math>\Sigma</math>={loves(x y)} wobei x y Variablen für Personen bezeichnen. lassen sich folgende Sätze durch prädikatenlogische Formeln dieser Signatur formulieren:
Die ErfüllungsrelationZusammen mit der Interpretation einer Signatur die Erfüllungsrelation die Verbindung zwischen den syntaktisch Formeln repräsentierten Objekten einer Welt W und Semantik in W dar. Eine Erfüllungsrelation gibt wann eine Formel in einer Interpretation gilt ob eine Formel in einer Interpretation wahr falsch ist. Da diese Relation eine der des logischen Systems ist stellt jedes logische eine solche Erfüllungsrelation (satisfaction relation) bereit:
Beispiel: Sei <math>I_1</math>eine Signatur A ein Literal gelte <math>I_1</math>(A) = 1 dann gilt <math>I_1\models_{\Sigma_{AL}} Überträgt man die Erfüllungsrelation auf eine zwischen Formeln so erhlt man die logische
\{0 1\}: I \models_\Sigma F \Rightarrow \models_\Sigma G</math> Dabei wird <math>F \models_\Sigma G</math>gelesen als F folgt logisch G" oder "G folgt aus F".
Geschichte der Logik
Weitere Autoren / Forscher / Klassiker
Literatur
Siehe auchFormale Logik Deduktion Deduktionstheorem Induktion (Logik) klassische Logik Kontraposition Theorie formaler Sprachen Theoretische Informatik Quantenlogik Horn-Klauseln Resolution (Logik) Unifikation Tableaux Semantik Argument Temporale Logik Algebraische Logik Dynamische Logik Aktionslogik Fixpunktlogik Aequilibrium indifferentiae .
Weblinks
| |||||||||||||||||||||||||||||
| Impressum • Lesezeichen setzen • Seite versenden • Seite drucken |
<a href="http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Logik.html">Logik </a>