Studium, Ausbildung und Beruf

web uni-protokolle.de
 powered by
NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenSamstag, 20. Dezember 2014 

Mächtigkeit


Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.

In der Mathematik verwendet man den aus der Mengenlehre stammenden Begriff der Mächtigkeit oder Kardinalität um den für endliche Mengen verwendeten der "Anzahl der Elemente einer Menge" auf Mengen zu verallgemeinern.

Für endliche Mengen setzt man die gleich der Anzahl der Elemente der Menge das ist eine natürliche Zahl . Für unendliche Mengen benötigt man etwas um ihre Mächtigkeiten zu charakterisieren. Die im gemachten Definitionen und Folgerungen sind aber auch Falle endlicher Mengen gültig.

Inhaltsverzeichnis

Gleichmächtigkeit Mächtigkeit

Man definiert zunächst den Begriff der zweier Mengen A und B :

Eine Menge A heißt gleichmächtig zu einer Menge B wenn es eine Bijektion f : A -> B gibt. Man schreibt dann | A | = | B |.

Ist A gleichmächtig zu B dann ist auch die Umkehrfunktion von f eine Bijektion also ist auch B gleichmächtig zu A . Endliche Mengen sind genau dann gleichmächtig sie gleich viele Elemente haben.

Man nennt eine Menge die gleichmächtig unendlichen Menge N der natürlichen Zahlen ist eine abzählbare Menge.

Eine Menge A die höchstens gleichmächtig zu N ist heißt höchstens abzählbar . Oft jedoch wird abzählbar als höchstens abzählbar definiert während eine Menge die gleichmächtig N ist abzählbar unendlich genannt wird. Dies macht die Formulierung Beweise etwas einfacher. Wir wollen jedoch im dieses Artikels die oben zuerst eingeführte Definition abzählbar verwenden.

Kardinalzahlen

Da man leicht zeigen kann dass Gleichmächtigkeit von Mengen eine Äquivalenzrelation ist ergibt die folgende Definition einen

Die Äquivalenzklassen der Mengen bezüglich der Relation Gleichmächtigkeit nennt man Kardinalzahlen .

Aleph (<math>\aleph</math>) ist der erste Buchstabe hebräischen Alphabets er wird mit einem Index verwendet Kardinalzahlen unendlicher Mengen zu benennen.

Liegt eine Menge A in der Äquivalenzklasse (= Kardinalzahl) aleph i dann sagt man A hat die Mächtigkeit aleph i . Man schreibt dann:

<math>|A| = \aleph_i</math>.

Die Kardinalzahl einer endlichen Menge mit n Elementen wird mit der natürlichen Zahl n gleichgesetzt.

Man kann sich nun fragen ob unendlichen Mengen einander gleichmächtig sind - in Fall wären alle unendlichen Mengen abzählbar.

Es stellt sich jedoch heraus dass unendliche Mengen gibt die nicht gleichmächtig zueinander z.B. ist die Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtig zur Mengen der reellen Zahlen . Das kann man z.B. mit dem genannten "Cantorschen Diagonalbeweis" zeigen siehe dazu den überabzählbar.

Weiter unten wird gezeigt dass es viele verschiedene Kardinalzahlen gibt.

Indem man zeigt dass jede Menge zu einer Ordinalzahl ist (dies ist die Aussage des Wohlordnungssatzes ) kann man jede Kardinalzahl mit der ihr gleichmächtigen Ordinalzahl gleichsetzen.

Höchstens gleichmächtig mächtiger

Um die Mächtigkeiten ungleichmächtiger Mengen trotzdem vergleichen zu können legt man fest wann Menge B mächtiger als eine Menge A sein soll:

Wenn es eine Bijektion f von A auf eine Teilmenge von B gibt dann heißt A höchstens gleichmächtig zu B . Man schreibt dann | A | <= | B |.

Wenn es eine Bijektion f von A auf eine Teilmenge von B gibt aber keine Bijektion von A nach B existiert dann heißt A weniger mächtig als B und B mächtiger als A . Man schreibt dann | A | < | B |.

Offenbar gilt | A | < | B | genau dann wenn | A | <= | B | aber nicht | A | = | B | ist.

Da die natürlichen Zahlen eine Teilmenge reellen Zahlen sind gilt also:

R ist mächtiger als N c := | R | > | N |.
Man kann zeigen dass R gleichmächtig ist zur Potenzmenge von N .

Man kann zeigen dass jede Menge höchstens abzählbar ist entweder endlich oder gleichmächtig N ist. Außerdem kann man zeigen dass unendliche Menge eine zu N gleichmächtige Teilmenge enthält.

Damit ist die Mächtigkeit von N die kleinste unendliche Kardinalzahl. Man bezeichnet mit aleph 0 :

<math>\aleph_0 := |\mathbb{N}|</math>.

Die Kontinuumshypothese (CH) besagt dass es keine Menge die mächtiger ist als N aber weniger mächtig als R . Wie der Name jedoch schon vermuten ist dies kein Satz in dem Sinne er sich beweisen lässt. Weder die Kontinuumshypothese ihre Verneinung lässt sich aus den üblichen Axiomensystemen herleiten (z.B. der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom).

Unter Annahme der Kontinuumshypothese definiert man als die Kardinalzahl von R die nächstgrößere nach <math>\aleph_0</math>.

In dem Fall gilt:

<math>c = 2^{\aleph_0} = \aleph_1</math>.

Totale Ordnung der Mächtigkeiten

Bei naiver Betrachtung der Schreibweise könnte vermuten dass für Mengen A und B mit | A | <= | B | und | B | <= | A | stets | A | = | B | gilt. Dass das tatsächlich so ist vom folgenden Satz ausgesagt:

Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem : Ist A höchstens gleichmächtig zu B und B höchstens gleichmächtig zu A dann sind A und B gleichmächtig.

Fassen wir einige Eigenschaften der Mächtigkeiten

  • Es gilt stets | A | = | A | (nimm die Identität als Bijektion).
  • Aus | A | <= | B | und | B | <= | A | folgt | A | = | B |.
  • Aus | A | <= | B | und | B | <= | C | folgt | A | <= | C | (folgt sofort aus der Definition).
  • Für zwei Mengen A und B gilt stets | A | <= | B | oder | B | <= | A | (das ist äquivalent zum Auswahlaxiom ).

Damit ist gezeigt dass die Kardinalzahlen total geordnet sind.

Mächtigkeit der Potenzmenge Größte Mächtigkeit

Wir haben die kleinste (unendliche) Mächtigkeit als die von N erkannt gibt es nun eine größte Das beantwortet der folgende Satz:

Für jede Menge A ist die Potenzmenge P( A ) mächtiger als A .

Beweis: Dass | A | <= |P( A )| gilt sieht man indem man A bijektiv auf die einelementigen Teilmengen von A ) abbildet. Der Beweis dass keine Bijektion A nach P( A ) existiert ist etwas trickreicher. Man betrachtet eine widerspruchshalber angenommene Bijektion f : A -> P( A ) die Menge

<math>M:=\{x \in A | x \not\in f(x)\} \mathrm{P}(A)</math>.
Da f als bijektiv vorausgesetzt ist muss es x in A geben mit f ( x ) = M . Läge nun x in M dann wäre nach Definition von M x nicht in f ( x ) = M . Läge x dagegen nicht in M dann wäre x in f ( x ) = M wieder nach der Definition von M . Damit haben wir einen Widerspruch erhalten zeigt dass die angenommene Bijektion f nicht existieren kann.

Für die Mächtigkeit von P( A ) gibt es auch folgende Schreibweise:

|P( A )| = 2 | A | |
Beachte aber dass der entsprechende Ausdruck unendliche Ordinalzahlen einen ganz anderen Wert liefert z.B. 2 | N | nicht als ein "Grenzwert" einer Folge n ) angesehen werden kann.

Bestimmt man nun die Mächtigkeiten der von Potenzmengen von Potenzmengen ... dann sieht dass es unendlich viele Kardinalzahlen gibt und mächtigste Menge existiert.



Bücher zum Thema Mächtigkeit

Dieser Artikel von Wikipedia unterliegt der GNU FDL.

ImpressumLesezeichen setzenSeite versendenSeite drucken

HTML-Code zum Verweis auf diese Seite:
<a href="http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/M%E4chtigkeit.html">Mächtigkeit </a>