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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenMontag, 22. September 2014 

Maßtheorie


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Die Maßtheorie ist ein Zweig der Mathematik der die elementargeometrischen Begriffe Streckenlänge Flächeninhalt Volumen verallgemeinert und es dadurch ermöglicht auch Mengen ein Maß zuzuordnen.

Die Maßtheorie bildet das Fundament der Integrations- und Wahrscheinlichkeitstheorie (stochastische Analysis). Die Maßtheorie ermöglicht es Integralbegriff auf unstetige Integranden zu erweitern die Riemann-integrierbar sind.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen und Beispiele

Messraum messbare Mengen

Für eine exakte Definition der Grundbegriffe Maßtheorie beginnen wir mit einer Grundmenge Ω. eine gewisse Menge Σ von Teilmengen von Ω eine σ-Algebra bildet dann heißt jede Menge die von Σ ist messbar (engl. measurable ) und die Grundmenge Ω mit der Struktur Σ heißt Messraum (engl. measurable space ). Eine Funktion die die Struktur eines erhält heißt messbare Funktion .

Vokabelerklärung:

Die Forderung dass Σ eine σ-Algebra ist bedeutet
  • dass Σ mit jeder Menge S auch deren Komplement Ω\ S enthält
  • dass Σ die leere Menge (und damit auch deren Komplement Ω) und
  • dass Σ bezüglich der abzählbaren Vereinigung abgeschlossen

Beispiele für Messräume:

  • Jede endliche oder abzählbar unendliche Menge insbesondere auch die Menge der natürlichen Zahlen N bildet mit ihrer Potenzmenge als σ-Algebra einen Messraum.
  • Die Menge der reellen Zahlen R bildet mit der Menge aller Intervalle einen Messraum.

Maß Maßraum

Ein Maß μ ist eine Funktion die jeder Menge S aus Σ einen Wert μ( S ) zuordnet. Dieser Wert ist entweder eine reelle Zahl oder ∞ (siehe unten wegen Verallgemeinerungen ). Ferner muss gelten:

  • Die leere Menge hat das Maß null:
  • Das Maß ist abzählbar additiv will sagen: wenn E 1 E 2 E 3 ... abzählbar viele paarweise disjunkte Mengen aus Σ sind und E deren Vereinigungsmenge ist dann ist das μ( E ) gleich der Summe ∑μ( E k ).

Die Struktur (Ω Σ μ) eines Messraums auf ein Maß definiert ist heißt Maßraum (engl. measure space ).

Beispiele für Maße:

  • Einigermaßen trivial: das Nullmaß das jeder Menge S den Wert μ( S )=0 zuordnet.
  • Das Zählmaß ordnet jeder Teilmenge S einer endlichen oder abzählbar unendlichen Menge Anzahl ihrer Elemente zu μ( S )=| S |.
  • Das Lebesgue-Maß Default-Maß auf der Menge der reellen R mit der σ-Algebra aller Intervalle definiert als translationsinvariantes Maß mit μ([0
  • Das Haar-Maß auf lokal kompakten topologischen Gruppen .
  • Wahrscheinlichkeitsmaße mit μ(Ω)=1.

Nullmenge vollständig fast überall

Eine Nullmenge ist eine Menge S aus Σ mit dem Maß μ( S )=0. Ein Maß heißt vollständig wenn jede Teilmenge jeder Nullmenge in enthalten ist. Eine Eigenschaft gilt fast überall in Ω wenn sie höchstens in Nullmenge nicht gilt.

endlich σ-endlich

Ein Maß heißt endlich wenn μ(Ω)<∞. Ein Maß heißt σ-endlich wenn Ω die Vereinigung einer abzählbaren messbarer Mengen S 1 S 2 S 3 ... ist die alle ein endliches μ('S k )<∞ haben.

Beispiele:

  • Die Menge der natürlichen Zahlen ist bezüglich Zählmaßes unendlich aber σ-endlich.
  • Die Menge der reellen Zahlen R ist bezüglich des kanonischen Lebesgue-Maßes ebenfalls aber σ-endlich denn sie kann als Vereinigung vieler endlicher Intervalle [ k k +1] dargestellt werden.
Die messbaren Teilmengen des R sind die Borel-Mengen.

Bemerkung:

σ-endliche Maße haben einige schöne Eigenschaften die Analogie zu den Eigenschaften separabler topologischer Räume aufweisen.

Verallgemeinerungen

Eine mögliche Verallgemeinerung betrifft den Wertebereich Funktion μ.

  • Man kann nichtnegative reelle oder komplexe Werte ( komplexes Maß ).
  • Ein Maß dessen Werte Elemente eines Banach-Raums sind heißt spektrales Maß; ein solches wird insbesondere in der Funktionalanalysis zum Beweis des Spektraltheorems benutzt.

Historisch wurden zuerst endlich additive Maße eingeführt. Die moderne Definition derzufolge Maß abzählbar additiv ist erwies sich jedoch als nützlicher.

Ergebnisse

Der Satz von Hadwiger klassifiziert alle möglichen translationsinvarianten Maße im R n : das Lebesgue-Maß ist ebenso ein Spzeialfall die Euler-Charakteristik. Verbindungen ergeben sich ferner zu Minkowski-Funktionalen und den Quermaßen.



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