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Mathematik


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Gegenstand der Mathematik ( altgr. : μαθηματική von mathema : Wissenschaft Lernen ) sind schon seit der Antike die mathematischen d.h. axiomatischen Theorien. Da also Gegenstand und Methode ihr in dieser Weise in eins fallen (und nahm) die Mathematik immer eine Sonderstellung den Wissenschaften ein.

Daneben ist sie aber auch Hilfswissenschaft viele andere Wissenschaften wie Physik die Ingenieurwissenschaften aber auch Wirtschaftswissenschaft und Viele mathematische Themen (z.B. Fourieranalyse Methode der Quadrate) wurden durch nichtmathematische Aufgabenstellungen initiiert.

Auch nichtmenschliche Lebewesen speziell Tiere sind begrenztem Umfang fähig mathematische Leistungen zu erbringen Phylogenese mathematischer Fähigkeiten .

Inhaltsverzeichnis

Axiomatische Theorie

Eine axiomatische Theorie ist eine Menge wahrer Aussagen die aus gewissen Axiomen mit logischen Mitteln gefolgert wurden; genauer gesagt: eine ist genau dann »wahr« wenn sie:

  1. ein Axiom ist oder
  2. aus anderen wahren Aussagen nach gewissen oder Deduktionsregeln abgeleitet werden kann.

Wahre Aussagen heißen Sätze der Theorie; will man einen Satz so nennt man ihn auch Theorem . Handelt es sich dabei um einen im Rahmen einer Beweisführung spricht man von Lemma . Ein Korollar ist eine Sammlung von Aussagen/Sätzen die aus einem anderen Satz folgen wobei die meist trivial ist. Die Ableitungen nennt man Beweise . In der Praxis spielen noch Definitionen eine Rolle sie gehören aber zum der Logik das vorausgesetzt wird. (So kommt z.B. Lambda-Kalkül ohne Definitionen aus während natürlich jede funktionale Programmiersprache dafür Sprachmittel bereitstellen muss; entsprechendes gilt für Beweissysteme u.ä.)

Im Laufe der historischen Entwicklung hat an diesen Begriffen nichts geändert es ist zu einer zunehmenden Präzisierung gekommen die ihren in dem großen und wachsenden Feld der Logik gefunden hat.

Anwendungen

Wenngleich Gegenstand der Mathematik nur die ist so hat sie sich doch immer engem Kontakt zu ihren Anwendungen entwickelt. Die Bildung mathematischer Modelle und Entwicklung effizienter Rechenverfahren stehen dabei in engem muss man auf der einen Seite vor am Anfang den Gegenstandsbereich häufig stark vereinfachen ihn einer mathematischen Behandlung zugänglich zu machen gewinnt man auf der anderen Seite häufig effizientere Zugänge und Möglichkeiten. Im Übrigen hat die rein technische Seite des Rechnens wie weiß zuletzt stark entwickelt.

Anwendung findet die Mathematik insbesondere in Naturwissenschaften . Aber auch die Gesellschafts- und Geisteswissenschaften benutzen mathematische Konzepte.

Geschichte

Die Mathematik ist eine der ältesten überhaupt. Eine erste Blüte erlebte sie in Antike in Griechenland und im Hellenismus von dort datiert die Orientierung an Aufgabenstellung des »rein logischen Beweisens« und die Axiomatisierung nämlich die euklidische Geometrie. Im Mittelalter überlebte sie unabhängig im frühen Humanismus der Universitäten und in arabischen Welt. Die Entwicklung in der Neuzeit erst durch die Naturwissenschaften (ab 1600) dann sehr stark durch innermathematischen Prozess der Axiomatisierung (ab etwa 1850) schließlich die Entwicklung der Computertechnik (ab 1930) bestimmt worden. Siehe Geschichte der Mathematik und Mathematiker .

Die Kerngebiete der Mathematik im Überblick

Ein Charakteristikum der Mathematik ist ihr Zusammenhalt der sich in engen und häufig überraschenden Querverbindungen zwischen ihren Teilen zeigt und jeder Einteilung der Mathematik bald eine Grenze Das folgende orientiert sich im groben Zügen Bourbakis Éléments de Mathématique .

Logik und Mengenlehre

Die Mathematik hat natürlich immer der bedurft doch dauerte es sehr lange bis selbst sich mit ihren Grundlagen befasste.

Es war die Mengenlehre die dies änderte. Diese hatte sich der Beschäftigung mit der Topologie entwickelt genauer mit den »Paradoxien des Unendlichen « ( Bernard Bolzano ) wie man sie im Umgang mit reellen Zahlen erlebte. Als man mit der Mengenlehre die unendlichen Mengen gemeistert hatte war zugleich die Geburtsstunde einer neuen Mathematik die von der Herrschaft der Zahlen und geometrischen Gebilde emanzipiert hatte. Aus dem »Paradies Mengenlehre« ( David Hilbert ) wollte man sich nicht mehr vertreiben

Als sich die »naive« Mengenlehre als erwies gewann plötzlich das Gebiet der mathematischen Logik jenes Interesse das ihm von Leibniz bis Frege versagt geblieben war und blühte rasch Dabei dient die Formalisierung der Logik dem Ziel die einzelnen Beweisschritte zu und Beweise vollständig als Folgen elementarer Operationen darstellen können um diese dann mit mathematischen (z.B. arithmetischen ) Mitteln ( Gödel ) zu untersuchen. Bei der Untersuchung axiomatischer Theorien interessiert man sich für deren widerspruchsfreien und ihr Verhältnis zueinander.

Inzwischen haben sich vielfältige Teilgebiete und in und außerhalb der Mathematik herausgebildet u.a. dazu in der Informatik auch Beweissysteme.

Die Mengenlehre findet heute Ergänzung als lingua franca der Mathematik in der Kategorientheorie die sich in den vierziger Jahren der algebraischen Topologie entwickelte.

Algebra

In der modernen Algebra wie sie den 1920er Jahren gelehrt wird entwickelt man ausgehend einer Menge mit nur einer »inneren Operation« Gruppoid oder Magma genannt) nacheinander die algebraischen Grundstrukturen der Monoide Gruppen Ringe und Körper die allgegenwärtig sind unter anderem weil verschiedenen Zahlmengen solche Strukturen aufweisen. Eng verbunden damit Polynome und Moduln / Ideale .

Die Lineare Algebra hat Moduln als Gegenstand. Im einfachsten Fall sind Vektorräume d.h. Moduln über Körpern meistens R oder C . Dies sind die Räume der klassischen Geometrie und Analysis. Aber es gibt auch kompliziertere Situationen. Die multilineare Algebra dehnt die Untersuchung auf das Tensorprodukt verwandte Erscheinungen aus. Ein enger Zusammenhang besteht Ringtheorie und Homologischen Algebra ; eine klassische Fragestellung ist die Invariantentheorie.

Die Galoistheorie ist einer der Höhepunkte der Mathematik 19. Jahrhundert und Anfang der Körpertheorie . Ausgehend von der Frage nach der von algebraischen Gleichungen untersucht sie Körperweiterungen (und erfindet dabei Gruppentheorie ).

Weitere Gebiete: Gruppentheorie Kommutative Algebra

Topologie

Die Topologie ist ein großes und Gebiet mit vielen Anwendungen. Anstöße kamen aus Analysis (Reelle Zahlen) der frühen Algebraischen Topologie Funktionentheorie (Riemannsche Flächen).

Zunächst werden die Kategorie der topologischen Räume und Verfahren zu ihrer Konstruktion eingeführt. eng verbundenen Grundbegriffe sind »Zusammenhang« »Stetigkeit« und Weitere wichtige Themen sind »Trennungseigenschaften« und »Kompaktheit«. Uniforme Räume haben eine Topologie die (in Verallgemeinerung Räume) über eine Art von Abstand definiert Hier kann man Cauchy-Filter definieren und damit Begriff der Vollständigkeit und die Methode der Vervollständigung eines Raumes.

Topologische Gruppen Ringe und Körper sind die entsprechenden Objekte (sh. oben) die zusätzlich mit einer versehen sind bezüglich derer die Verknüpfungen (d.h. Ringen und Körpern Addition und Multiplikation) stetig Ein historisch und praktisch wichtiges Beispiel sind reellen Zahlen : sie werden durch Vervollständigung der rationalen Q bezüglich der Topologie die vom Standardbetrag konstruiert. Man kann jedoch auch für eine gewählte Primzahl p den sogenannten p-adischen Betrag dann ergibt sich als Vervollständigung der Körper p-adischen Zahlen Q_p. Für diesen interessiert sich die Zahlentheorie .

Metrische Räume sind uniforme Räume deren Topologie von Metrik abgeleitet ist und damit besonders übersichtlich auch anschaulich. Daneben kennt man viele andere von Räumen.

Für Anwendungen in Analysis und Funktionalanalysis topologische Vektorräume grundlegend. Besonders interessant sind lokalkonvexe Räume (und ihre Dualräume) die es eine schöne Theorie mit wichtigen gibt.

Weitere Gebiete: Algebraische Topologie

Analysis

Die Analysis untersucht differenzierbare Abbildungen zwischen Räumen von den Zahlkörpern R und C bis zu Mannigfaltigkeiten und Hilbert-Räumen (und hinaus). Sie war schon die Mathematik der des 17. und 18. Jahrhunderts und ist immer noch.

Drei Phänomene stehen untrennbar im Mittelpunkt Differentialrechnung : Die Ableitung die eine Abbildung »im Kleinen« beschreibt die Differentialgleichung die in etwa dasselbe mit der im Großen tut und das Integral das zwischen beiden vermittelt. Die algebraisch rationalen Funktionen werden um die Exponentialfunktion und ihre Verwandten und viele andere Differentialgleichungen und Potenzreihen gegebene spezielle Funktionen ergänzt.

Betrachtet man Funktionen die den komplexen in sich abbilden so drängt sich die nach komplexer Differenzierbarkeit auf die weitreichende Folgen hat. Solche sind immer analytisch d.h. im kleinen durch Potenzreihen darstellbar. Ihre Untersuchung heißt Funktionentheorie sie gehört zu den großen Leistungen 19. Jahrhunderts.

Wie man die Erdoberfläche stückweise oder man sagt »lokal« oder »im kleinen« durch Karten darstellen kann definiert man Mannigfaltigkeiten als Hausdorff-Räume zusammen mit einen Atlas aus kompatiblen Karten die eine Umgebung eines jeden in einen gewissen Modellraum abbilden. Mit einigen Annahmen hinsichtlich der Karten kann man »Analysis Mannigfaltigkeiten« betreiben. Heute liegt der Cartansche Differentialformenkalkül Übertragung analytische Begriffe auf Mannigfaltigkeiten zugrunde; dabei es darauf an die neuen Begriffe »intrinsisch« heißt unabhängig davon zu definieren welche konkrete man zu ihrer Realisation benutzt. Für einen der Begriffe kann man das wenngleich es immer einfach ist und zu einer Reihe Begriffsbildungen führt. Als ein Beispiel sei der Satz von Stokes genannt der den Fundamentalsatz der Analysis (Satz von Barrow) verallgemeinert. Eine wichtige spielt diese Theorie in anderem Gewande als Vektoranalysis und Ricci-Kalkül in der Physik. Differenzierbare sind auch Gegenstand der algebraischen Topologie (vgl. de-Rham-Cohomologie und Differentialtopologie); mit zusätzlichen Strukturen sind Riemannsche Mannigfaltigkeiten Thema der Differentialgeometrie .

Aus der uralten Frage nach Maß Gewicht erwuchs erst Anfang des 20. Jahrhunderts Aufnahme topologischer Begriffe die Maßtheorie die dem gegenwärtigen sehr leistungsfähigen Integralbegriff seinen Anwendungen zugrunde liegt aber auch der

Ungefähr zur selben Zeit entwickelte sich dem Studium von Integral- und Differentialgleichungen die Funktionalanalysis als das Studium von Funktionenräumen und deren Abbildungen Operatoren . Die ersten Beispiele solcher Räume waren Hilbert- und Banachräume . Sie erwiesen sich als der Untersuchung algebraischen wie topologischen Instrumenten zugänglich und eine Theorie nahm hier ihren Ursprung.

Weitere Gebiete: gewöhnliche Differentialgleichungen partielle Differentialgleichungen Lie-Gruppen

Weitere Gebiete im alphabetischen Überblick

Algebraische Geometrie

Ein aus dem Studium der Kegelschnitte entstandenes und noch sehr aktives Gebiet engsten Beziehungen zur kommutativen Algebra und Zahlentheorie die algebraische Geometrie. Gegenstand der älteren Theorie bis etwa 1950 algebraische Varietäten d.h. Nullstellenmengen algebraischer Gleichungen projektiven (komplexen) Raum inzwischen fand eine starke der Fragestellungen und Methoden statt.

Algebraische und Differentialtopologie

Differentialgeometrie

Funktionalanalysis

Geometrie

Historisch Die euklidische Geometrie war das erste Beispiel einer axiomatischen wenn es auch bis Hilbert dauern sollte um diese Axiomatisierung abzuschließen. Descartes das Programm aufgestellt hatte ihre Probleme algebraisieren fand sie neues Interesse und entwickelte zur algebraischen Geometrie. Im 19. Jahrhundert wurden und Differentialgeometrie entwickelt. Ein Großteil der alten wurde zur Algebra oder Topologie.

Gruppentheorie

Die Gruppentheorie als mathematische Disziplin im 19. Jahrhundert entstanden ist ein Wegbereiter der modernen da sie eine Entkoppelung der Repräsentation (z. die reellen Zahlen) von der inneren Struktur (Gesetze für Gruppen).

Kommutative Algebra

Lie-Gruppen

Lie-Gruppen beschreiben die typischen Symmetrien in Geometrie und der Physik. Im Gegensatz zu Gruppen tragen sie eine topologische Struktur (genauer: sie sind eine Mannigfaltigkeit ) und ermöglichen es kontinuierliche Transformationen zu z.B. bilden die Rotationen oder die Translationen solche Gruppe.

Numerische Mathematik

Die numerische Mathematik konstruiert und analysiert zur Lösung von kontinuierlichen Problemen der Mathematik. die Algorithmen usprünglich zur Rechnung per Hand so wird heutzutage der Computer eingesetzt. Wichtige Hilfsmittel sind dabei Approximationstheorie Lineare Algebra und Funktionalanalysis . Es spielen vor allem Fragen der und Genauigkeit eine Rolle ferner müssen die Fehler bei der Rechnung berücksichtigt werden.

Philosophie der Mathematik

Die Philosophie der Mathematik wiederum hinterfragt die axiomatischen Systeme.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

In Anfängen in der Antike vorhanden sich dieses Gebiet zunächst und lange Zeit der Versicherungsmathematik v.a. auch dem Spezialfall der des Glücksspiels gespeist. Man unterscheidet:
  • Wahrscheinlichkeitstheorie i.e.S. ( Stochastik ) als Theorie stochastischer Experimente. Ziel ist zu einem gegebenen Experiment die Verteilung der zu bestimmen.
  • darauf aufbauend die mathematische Statistik die bei unvollkommener Kenntnis des Experimentes gewissen Ergebnissen (einer Stichprobe) auf die zugrundeliegende schließen will. Zwei Fragen stehen im Mittelpunkt:
    • Bestimmung von Parametern (Schätztheorie)
    • Klassifikation von Fällen (Entscheidungstheorie)
Dabei werden diese Aufgaben als Optimierungsprobleme gestellt für die Statistik charakteristisch ist.
Die moderne Theorie ist seit den von Kolmogoroff eine wichtige Anwendung der Maßtheorie .
Weitere Gebiete: Ergodentheorie statistische Mechanik Informationstheorie Operations Research

Zahlentheorie

Ein altes schon in der Antike Fach dessen Ausgangspunkt die überraschenden Eigenschaften der natürlichen Zahlen bilden (auch Arithmetik genannt). Gefragt wird zunächst nach Teilbarkeit und Primalität . Auch viele mathematische Spiele gehören hierher. Sätze der Zahlentheorie sind einfach zu formulieren schwer zu beweisen.

In der Neuzeit findet die Zahlentheorie zuerst bei Fermat erneutes und zugleich zukunftsweisendes Interesse. Gauß ' Disquisitiones Arithmeticae bilden 1801 einen Höhepunkt und regen eine intensive an. Heute haben sich entsprechend den benutzten zur elementaren die analytische algebraische und geometrische Zahlentheorie gesellt. Lange galt die Zahlentheorie (praktisch) absolut nutzlos bis sie mit der der asymmetrischen Kryptographie plötzlich in den Mittelpunkt des Interesses

Mathematische Themen in der Wikipedia

Unter Wikipedia:Liste mathematischer Themen gibt es eine (noch unvollständige) Auflistung Artikel mit mathematischem Inhalt. Dieser Artikel kann als "Letzte Änderungen"-Ersatz für mathematische Themen verwendet

Zahlen

Natürliche Zahlen -- Ganze Zahlen -- Rationale Zahlen -- Algebraische Zahlen -- Reelle Zahlen -- Komplexe Zahlen -- Römische Zahlen -- Mathematische Konstanten -- Liste besonderer Zahlen -- Primzahlen -- Zahleneigenschaften -- Zahlennamen -- Unendlich -- π -- e

Das Veränderliche

Algebra -- Analysis -- Differentialgleichungen -- Funktion (Mathematik) -- Trigonometrische Funktionen -- Statistik -- Spezielle Funktionen -- Dynamische Systeme -- Chaostheorie -- Vektorrechnung

Mathematische Strukturen

Zahlentheorie -- Gruppentheorie -- Topologie -- Geometrie -- Lineare Algebra -- Graphentheorie

Mathematische Räume

Topologie -- Geometrie -- Trigonometrie -- Lineare Algebra -- Tensor -- Differentialgeometrie -- Abgebraische Geometrie

Diskrete Mathematik

Kombinatorik -- Mengenlehre -- Statistik -- Berechenbarkeitstheorie -- Graphentheorie -- Spieltheorie -- Kryptographie

Grundlagen und Methoden

Philosophie der Mathematik -- Intuitionismus -- Konstruktivismus -- Grundlagen der Mathematik -- Mathematik für die Schule -- Mengenlehre -- Symbolische Logik -- Modelltheorie -- Beweistheorie -- Beweismethoden -- Kategorientheorie

Angewandte Mathematik

Mechanik -- Numerik -- Optimierung -- Diskrete Mathematik -- Statistik

Bekannte Theoreme Vermutungen und ungelöste Probleme

Satz des Pythagoras -- Großer Fermatscher Satz -- Waringsches Problem -- Goldbachsche Vermutung -- Riemannsche Hypothese -- Poincaré-Vermutung -- Primzahlzwillinge -- Vier-Farben-Problem -- Fundamentalsatz der Algebra -- Fundamentalsatz der Analysis -- Zentraler Grenzwertsatz -- Kontinuumshypothese -- Zornsches Lemma -- Gödelscher Vollständigkeitssatz -- Gödelscher Unvollständigkeitssatz

Formel- und Definitionssammlungen

Algebra -- Geometrie -- Stochastik -- Glossar mathematischer Attribute

Diverses

Phylogenese mathematischer Fähigkeiten -- Geschichte der Mathematik -- Mathematiker -- Fields-Medaille -- Die internationale mathematische Union -- Mathematikwettbewerbe -- Tabelle mit mathematischen Symbolen

siehe auch: Portal Mathematik

Weblinks




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