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Logik


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  Formale Logik  -- Hutschi 12:46 24. Apr 2004  

Die Logik beschäftigt sich mit den Normen des Schließens. Sie untersucht unter welchen Bedingungen das einer Aussage aus einer Menge anderer Aussagen korrekt und entwickelt hierzu formale Systeme zur exakten Beschreibung der untersuchten Schlussregeln . Sie ist ein Teilgebiet der Philosophie und teilweise auch der Mathematik hat Querbezüge u.a. zur Linguistik und ist letztlich Grundlage für alle Wenn Logik und Intuition zu unterschiedlichen Ergebnissen gelangen oder wenn Schließen zu Widersprüchen führt so kann ein Paradoxon entstehen.

Inhaltsverzeichnis

Teilgebiete

Die wichtigsten Teilgebiete der elementaren formalen Logik sind die klassische Aussagen- und Prädikatenlogik .

Die bis zum 19. Jahrhundert dominante Syllogistik die auf Aristoteles zurückgeht lässt sich ein Vorläufer der Prädikatenlogik verstehen. Traditionell gehört die Lehre von so genannten Fehlschlüssen und allgemein die Beschäftigung mit praktischen des Argumentierens zum Bereich der Logik.

Logische Systeme (Kalküle) werden unter anderem in axiomatische Logikkalküle und Systeme natürlichen Schließens .

Die klassische Aussagen- und Prädikaten-Logik lässt grundsätzlich in zwei Weisen modifizieren:

Einerseits kann die Sprache um weitere für bestimmte Redebereiche angereichert werden. Die Modallogik beschäftigt sich mit Ausdrücken wie "notwendig" "möglich"; die deontische Logik mit "geboten" oder die epistemische Logik mit "wissen" und glauben".

Andererseits können Prinzipien die in der Logik gültig sind problematisiert werden. Die daraus im engeren Sinne nicht-klassischen Logiken sind schwächer die klassische Logik. Hierzu gehören der von E. J. Brouwer entwickelte logische Intuitionismus der die Gültigkeit des "tertium non ¬ p ∨ p und der "duplex-negatio"-Regel → p bestreitet der Minimalkalkül I. Johanssons der das "ex falso quodlibet" ¬ p (p → q) zurückgewiesen wird sowie die hieran anschließenden Relevanzlogiken.

Quer hierzu stehen die mehrwertigen Logiken in denen der aristotelische "Satz vom Dritten" außer Kraft gesetzt wird wie die Logik und die unendlichwertige Logik von Jan Łukasiewicz ("Warschauer Schule") die in der Fuzzy-Logik praktische Anwendung finden und die endlichwertige von Gotthard Günther ("Günther-Logik") die auf Probleme sich selbst erfüllende Voraussagen in der Soziologie angewandt wird.

Wissensrepräsentation mit Logik

Wissenbasiertes System

Verwendet man die klassische Logik als eines wissensbasierten Systems spricht man von einem System

Klassisch-logisches System

Ein solches logisches System lässt sich zwei grundlegende Komponenten aufteilen. Die erste der Komponenten eines klassisch-logischen Systems ist die sogenannte um das menschliche Schließen zu modellieren. Die Komponente besteht aus einer Repräsentationssprache in der Wissensbasis der Kern des wissensbasierten Systems formuliert kann. Die Aufgabe dieser Repräsentationssprache wird im System von den klassischen Logiken übernommen. Das dass das vorhandene Wissen in prädikatenlogischen Formeln wird. Das wichtigste Potential des auf diesen Komponenten definierten klassich-logischen Systems besteht jedoch in Inferenz von Wissen selbst.Wird die Inferenzrelation entsprechend logischen Repräsentationsprache definiert so ergibt sich die Wissen zu inferieren das bedeutet aus bereits dem System vorhandenem Wissen neues Wissen über Inferenzrelation abzuleiten.

Inferenz im klasisch-logischen System

Aus der Einteilung der Inferenz in Induktion und Abduktion ergibt sich dass sowohl als auch Abduktion als Schlussfolgerungsmechanismen nicht notwendigerweise sind. Somit stellt Deduktion die einzig sichere im Schluss dar (vgl. 3-Teilung der Inferenz Peirce (1839-1914)) weil das in diesem Fall Wissen immer wahr ist. Aufgrund dieser Eigenschaft logische Systeme die deduktive Instanz der Inferenz Modellierung des logischen Folgerungsoperators. Eine korrekte Schrittfolge Inferenzprozedur in deren Verlauf neues Wissen B vorhandenem Wissen W abgeleitet wird bezeichnet man als Beweis. Mit Verwendung einer derartig deduktiven wird es allerdings unmöglich einmal als wahr Schlussfolgerungen wieder zu revidieren. Daher ist es klassisch-logischen Systemen die auf rein deduktiven Verfahren unmöglich nicht-monotones Schließen als fundamentales Merkmal menschlicher korrekt zu modellieren. Ein möglicher Lösungsansatz der Defekt im Inferenzmodell des logischen Systems beheben besteht in der graduellen Abstufung der Korrektheit Ableitungen. Diese Abstufung kann auf zwei Arten werden. Auf der einen Seite geschieht dies Verwendung von Wahrscheinlichkeiten. Indem Ableitungen über Prozentzahlen werden erhält man eine probabilistische Logik in graduelle Abstufungen durchaus möglich sind. Auf der Seite wird die graduelle Abstufung von Schlussfolgerungen Fuzzy-Logik durch die Verwendung von Gradzahlen zur vager Prädikate ermöglicht.

Aufbau eines logischen Systems

Grundkomponenten

  • <math>\Sigma</math> = Signatur
  • Int(<math>\Sigma</math>)= Menge aller Interpretationen über der <math>\Sigma</math>
  • For(<math>\Sigma</math>)= Menge aller Formeln über der <math>\Sigma</math>
  • <math>\models_{\Sigma}</math> = Erfüllungsrelation

Die Signatur Σ

Die mengentheoretische Intuition hinter dem Begriff Signatur ist eine Menge aus Namen und durch die alle Elemente einer zu repräsentierenden W formalisiert werden. Genauer gesagt handelt es bei den Elementen einer Signatur um Namen nach Prädikaten und Funktoren klassifiziert und nach Stelligkeit differenziert werden.

Aussagenlogische Signatur

Signaturen in der Aussagenlogik enthalten als nullstellige Namen oder Bezeichner die auch als bezeichnet werden.

Beispiel: <math>\Sigma_{AL}=\{Schnee schneit Sonne kalt\}</math>

Prädikatenlogische Signatur
Signaturen in der Prädikatenlogik 1. Stufe null- und mehrstellige Funktoren und Prädikate. Somit eine Signatur in der Prädikatenlogik als Tupel werden wobei git:

<math>\Sigma</math>=(Func Pred)

Mit

  • Func = Menge von null- oder Funktoren nullstellige Funktoren werden als Konstanten bezeichnet
  • Pred = Menge von null- oder Prädikaten

Aufgrund der Tatsache dass die Aussagenlogik echte Teilmenge der Prädikatenlogik 1. Stufe ist die Menge aller prädikatenlogischen Signaturen ebenso die aller aussagenlogischen Signaturen als echte Teilmenge. Daraus dass die Aussagenvariablen durch nullstellige Prädikate modelliert könen. Diese können atomare Formeln also die der Aussagenlogik darstellen.

Beispiel: <math>\Sigma_{PL1}=\{Schneewegschaufeln(x y) Mann Gehweg Kinder Einfahrt\}</math>

Die Menge der Interpretationen Int(Σ)

Die wichtigste Eigenschaft einer Interpretation innerhalb logischen Systems besteht darin dass sie zusammen der Erfüllungsrelation die Verbindung zwischen der Syntax Form der Signatur <math>\Sigma</math>) der Repräsentationssprache und Semantik von Aussagen herstellt indem sie die der Signatur zu Objekten einer Wissensbasis W

Interpretation in der Aussagenlogik

Bei der Interpretation einer aussagenlogischer Signatur jeder Aussagenvariable aus der Signatur <math>\Sigma</math> ein zugeordnet. Diese Zuordnung erfolgt durch eine Interpretation für die gilt:

<math>\sigma \in Int(\Sigma) = \Sigma \longrightarrow \{0

Dabei bezeichnet die Menge Int(<math>\Sigma</math>) die aller Funktionen von einer gegebenen Signatur <math>\Sigma</math> <math>\{0 1\}</math>. Diese <math>\sigma</math>-Interpretation einer Signatur <math>\Sigma</math> auch Belegung genannt weil durch diese Funktion Aussagenvariable mit einem Wahrheitswert belegt wird.

Interpretation in der Prädikatenlogik
In der PL1 lässt sich der einer Interpretation wie folgt beschreiben:

<math>I =(U_I Func_I Pred_I)</math>

wobei gilt:

  • <math>U_I</math> = nichtleere Trägermenge (engl. carrier mit allen Objekten einer Interpretation
  • <math>Func_I</math> = Funktionsmenge:
<math>\{f_I: \underbrace{U_I \times\dots\times U_I}_{n-mal} \rightarrow U_I f \in Func\; mit\; Stelligkeit\; n \in
  • <math>Pred_I</math> = Menge von Relationen:
<math>\{p_I \subseteq \underbrace{U_I \times\dots\times U_I}_{n-mal} \rightarrow
 U_I | p \in Pred\; mit\; n \in N\}</math>  

Eine Interpretation I in PL1 bildet und Prädikaten der Signatur auf Objekte der repräsentierenden Welt über dem Universum U gemäß Tabelle ab:

Nullstellige Funktoren Elemente aus U
Ein- oder mehrstellige Funktoren Funktionen
Nullstellige Prädikate Belegung mit Wahrheitswert
Einstellige Prädikate Teilmenge von U
Mehrstellige Prädikate Relationen R <math>\subseteq \underbrace{U \times\dots\times U}_{Stelligkeit\; n}</math>

Beispiel:

Seien Signatur <math>\Sigma=(\{eins^0 plus^2\} \{gleich^2\})</math> mit = p mit Stelligkeit i und Interpretation

<math>(N \{+ \in N\times N \rightarrow N \{ \{(n m) \in N\times N | = m\} \})</math>
gegeben. So gilt:

I(eins) <math>1\in N = U</math>
I(plus) <math>+ \in N\times N \rightarrow N</math>
I(gleich) n = m\}= \{(0 0) (1 \dots\}</math>

Die Menge der Formeln For(Σ)

Die Menge der Formeln über eine <math>\Sigma</math> ist ein wesentlicher Bestandteil eines logischen Formeln bilden die syntaktische Repräsentation von Objekten zu repräsentierenden Welt W von Aussagen über Objekte sowie von Sachverhalten mit denen die W beschrieben wird. Eine wesentliche Eigenschaft der eines logischen Systems ist ihre Wohlformuliertheit (engl. well-formed formula). For(<math>\Sigma</math>) enthält alle die sich entsprechend der voregebenen Grammatik für aus den Elementen der Signatur <math>\Sigma</math> bilden Genau für diese Formeln gilt die Eigenschaft Wohlformuliertheit.

Formeln in Aussagenlogik
Handelt es sich bei der Signatur eine rein aussagenlogische Signatur d.h. die Signatur ausschließlich Aussagevariablen (= nullstellige Prädikate) so bilden selbst bereits atomare aussagenlogische Formeln die sogenannten Die Menge For(<math>\Sigma</math>) umfasst bei einer aussagenlogischen somit die Signatur selbst und alle komplexeren die entsprechend der Grammatik für Formeln durch Verknüpfungen gebildet werden können.

Beispiel:

Sei eine Signatur <math>\Sigma</math> = {Mo Mi Do Fr Sa So} gegeben. So z.B. die folgenden Formeln gebildet werden:

<math>\neg Mo \Rightarrow Di</math>
<math>\neg Mo \wedge\neg Di \wedge\neg Mi \wedge\neg \wedge\neg Fr
 \Rightarrow Sa \wedge So</math> 
<math> Mo \vee Di \vee Mi \vee \vee Fr \Rightarrow Sa \vee So</math>

Formeln in Prädikatenlogik
Neben den im vorangegangenen Abschnitt aufgeführten Formeln For(<math>\Sigma_{AL}</math>) können Formeln in der prädikatenlogischen For(<math>\Sigma</math>) ebenso Variablen und Quantifizierungen über diese enthalten. Enhält eine Signatur <math>\Sigma</math> das einstellige P(x) so enhält die Formelmenge For(<math>\Sigma</math>) das selbst sowie existentielle und universelle Quantifizierung der P über die Individuenvariable x

Beispiel:

Sei eine Signatur Beispiel: = {Vater(x y) Großvater(x y)} gegeben seien x y z Variablen so lässt daraus die folgende Formel ableiten: <math>\forall x.\forall z:</math>Vater(x y)<math>\wedge</math> Vater(y z)<math>\Rightarrow</math>Großvater(x z)

Sei ferner eine Signatur <math>\Sigma</math>={loves(x y)} wobei x y Variablen für Personen bezeichnen. lassen sich folgende Sätze durch prädikatenlogische Formeln dieser Signatur formulieren:
Everybody loves somebody <math>\forall x. \exists y: loves(x y)</math>
Somebody loves somebody <math>\exists x. \exists y: loves(x y)</math>
Everybody loves everybody <math>\forall x. \forall y: loves(x y)</math>
Nobody loves everybody <math>\neg (\exists x. \forall y: loves(x y))</math>
Somebody loves nobody <math>\exists x. \forall y: \neg loves(x y)</math>

Die Erfüllungsrelation

Zusammen mit der Interpretation einer Signatur die Erfüllungsrelation die Verbindung zwischen den syntaktisch Formeln repräsentierten Objekten einer Welt W und Semantik in W dar. Eine Erfüllungsrelation gibt wann eine Formel in einer Interpretation gilt ob eine Formel in einer Interpretation wahr falsch ist. Da diese Relation eine der des logischen Systems ist stellt jedes logische eine solche Erfüllungsrelation (satisfaction relation) bereit:

<math>\models_\Sigma \subseteq Int(\Sigma) \times For(\Sigma)</math>

Beispiel:

Sei <math>I_1</math>eine Signatur A ein Literal gelte <math>I_1</math>(A) = 1 dann gilt <math>I_1\models_{\Sigma_{AL}}

Überträgt man die Erfüllungsrelation auf eine zwischen Formeln so erhlt man die logische

<math>\models_\Sigma \subseteq For(\Sigma)\times For(\Sigma)</math>
<math>F \models_\Sigma G \Leftrightarrow \forall I \in \longrightarrow
 \{0 1\}: I \models_\Sigma F \Rightarrow \models_\Sigma G</math> 

Dabei wird <math>F \models_\Sigma G</math>gelesen als F folgt logisch G" oder "G folgt aus F".

Geschichte der Logik

Weitere Autoren / Forscher / Klassiker

Literatur

  • Arnauld Antoine und Nicole Pierre: Die oder die Kunst des Denkens 2. durchgesehene um eine Einleitung erweiterte Auflage Darmstadt 1994
  • Kälin Bernhard: Lehrbuch der Philosophie. Band Logik Ontologie Kosmologie Psychologie Kriteriologie und Theodizee und Band II: Ethik (1954) Sarnen
  • Lakebrink Bernhard: Kommentar zu Hegels "Logik" seiner "Enzyklopädie" von 1830 Band 1: Sein Wesen Freiburg / München 1979
  • Lehmen Alfons: Lehrbuch der Philosophie auf Grundlage; Band I: Logik Kritik Ontologie sechste Auflage 1923; Band II: Kosmologie (II.1 d.h. Teil) fünfte verbesserte und vermehrte Auflage 1920 Psychologie (II.2 d.h. zweiter Teil) fünfte verbesserte vermehrte Auflage 1921; Band III: Theodizee fünfte Auflage 1923; Band IV: Moralphilosophie dritte verbesserte vermehrte Auflage 1919 Freiburg im Breisgau

Siehe auch

Formale Logik Deduktion Deduktionstheorem Induktion (Logik) klassische Logik Kontraposition Theorie formaler Sprachen Theoretische Informatik Quantenlogik Horn-Klauseln Resolution (Logik) Unifikation Tableaux Semantik Argument Temporale Logik Algebraische Logik Dynamische Logik Aktionslogik Fixpunktlogik Aequilibrium indifferentiae .

Weblinks



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