Maximales Ideal

Definition

Sei R ein kommutativer Ring und <math>\mathfrak{m} \subset R</math> ein Ideal . Wir nennen <math>\mathfrak{m}</math> maximal oder maximales wenn für alle Ideale <math>\mathfrak{a} \subseteq R</math>

<math> \mathfrak{m} \subsetneq \mathfrak{a}</math> folgt: <math>\mathfrak{a} R</math>

Oder in anderen Worten: <math>\mathfrak{m}</math> ist wenn es nicht Teilmenge eines echten (vom Ring verschiedenen) Ideals ist.

Bemerkungen

• Mit Hilfe des Lemmas von Zorn kann man zeigen dass jedes Element <math>R</math> das keine Einheit ist in einem maximalen Ideal enthalten muss.
• Bildet man den Faktorring <math>L = R/\mathfrak{m}</math> so ist <math>L</math> dann ein Körper wenn <math>\mathfrak{m}</math> maximal ist. Insbesondere heißt Das Bild eines Ring homomorphismus ist genau dann ein Körper wenn Kern maximal ist.
• Jedes Primideal ist maximal. Dies folgt aus der Bemerkung und daraus dass jeder Körper ein Integritätsbereich ist.

Beispiele

• Im Ring <math>\mathbb{Z}</math> der ganzen Zahlen ist jedes Primideal zugleich maximales Ideal. ist jedoch im Allgemeinen nicht richtig.
• Sei <math>\mathcal{C}</math> der Ring der stetigen Funktionen auf den reellen Zahlen . Betrachte den Ringhomorphismus <math>\alpha: \mathcal{C} \rightarrow f \mapsto f(0)</math> Mit anderen Worten: diejenige die jede Funktion an der Stelle 0 Das Bild von <math>\alpha</math> ist <math>\mathbb{R}</math> also Körper. Somit ist der Kern also die aller Funktionen mit <math>f(0) = 0</math> ein Ideal.

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