Maxwell-Boltzmann-Verteilung

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In einem idealen Gas bewegen sich nicht alle Gasteilchen mit gleichen Geschwindigkeit sondern statistisch verteilt mit verschiedenen Geschwindigkeiten. Die Maxwell - Boltzmann -Verteilung (teilweise auch maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung genannt) gibt dabei an wie groß Wahrscheinlichkeit ist dass sich ein Gasteilchen mit bestimmten Geschwindigkeit bewegt.

Die Verteilung ist gegeben durch

<math>

f(v) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \left( \frac{m}{\mathrm{k}T} \right)^{3/2} \exp\left( -\frac{mv^2}{2\mathrm{k}T} \right) </math>

wobei v die Teilchengeschwindigkeit m die Teilchenmasse k die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur des Gases ist. Die Wahrscheinlichkeit w dass ein Gasteilchen eine Geschwindigkeit zwischen v ₁ und v ₂ besitzt errechnet sich damit aus

<math>

w=\int_{v1}^{v2} f(v)\ dv </math>.

Die folgenden beiden Abbildungen verdeutlichen die der Maxwell-Boltzmann-Verteilung von der Masse und der der Teilchen.

Maxwell-Boltzmann-Verteilung von Wasserstoff (H2) Stickstoff (N2) und (Cl2)

Maxwell-Boltzmann-Verteilung von Stickstoff bei verschiedenen Temperaturen

Mit steigender Temperatur T nimmt die durchschnittliche Geschwindigkeit zu und Verteilung wird gleichzeitig breiter. Mit steigender Teilchenmasse m hingegen nimmt die durchschnittliche Geschwindigkeit ab die Geschwindigkeitsverteilung wird gleichzeit schmaler (Hinweis: m (H ₂) = 2 u; m (N ₂) = 14 u; m (Cl ₂) = 71 u)

Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit v _w also die Geschwindigkeit am Maximum der berechnet sich aus

<math>

v_{\mathrm{w}} = \sqrt{{2kT} \over m} </math>

und die durchschnittliche Geschwindigkeit v _d aus

<math>

v_{\mathrm{d}} = \sqrt{{8kT} \over {\pi m}}

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