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Maxwellsche Gleichungen


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Die vier Maxwellschen Gleichungen beschreiben die elektromagnetischen Felder und ihre Abhängigkeit vollständig in sowohl differentieller als auch integraler Form.

Inhaltsverzeichnis

Die Maxwellschen Gleichungen

Die Quellen elektromagnetischer Felder sind elektrische Ladungen und Ströme . Aus ihnen resultieren zeitabhängige elektrische und Felder . Die Maxwellschen Gleichungen beschreiben somit die die Wirkung die Wechselwirkungen und die zeitliche dieser Felder. Sie sind die Grundlage der Elektrodynamik und der Theoretischen Elektrotechnik .

Um die folgenden Gleichungen verstehen zu sollten sowohl der Begriff Differentialoperator als auch seine Bedeutung bekannt sein. Maxwellschen Gleichungen lassen sich mit dem Satz von Stokes und Gauß sowohl in differentieller als auch in Schreibweise formulieren:

Maxwellsche Gleichungen
Bezeichnung Satz Beschreibung
Gauß Das <math>\vec D</math>-Feld ist ein Quellenfeld. Die Ladung ist Quelle des elektrischen Feldes .
<math>\mbox{div}\vec D=\rho</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\iint_A\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\subset\!\supset \vec D\;d\vec A=\iiint_V\rho\;dV</math>
Gauß Das <math>\vec B</math>-Feld ist quellenfrei. Es gibt magnetischen Monopole.
<math>\mbox{div}\vec B=0</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\iint_A\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\subset\!\supset \vec B\;d\vec A=0</math>
Induktionsgesetz Stokes Jede Änderung des <math>\vec B</math>-Feldes führt zu elektrischen Gegenfeld. Die Wirbel des elektrischen Feldes sind von der Änderung der magnetischen Induktion abhängig.
<math>\mbox{rot}\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t}</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\oint_cE\;d\vec s=-\frac{\partial}{\partial t}\iint_A\vec B\;d\vec A</math>
Verallgemeinertes Durchflutungsgesetz Stokes Die Wirbel des Magnetfeldes hängen vom elektrischen und von der zeitlichen Änderung des Verschiebungsstroms
<math>\mbox{rot}\vec H=\vec J+\frac{\partial\vec D}{\partial t}</math> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\oint_c\vec H\;d\vec s=\iint_A\left(\vec J+\frac{\partial\vec D}{\partial t}\right)\;d\vec A</math>

Erläuterung der Größen

Skalare Felder

Das Symbol ρ steht für die ohne Berücksichtigung von Beiträgen die durch eine Polarisation eines evtl. vorhandenen Mediums entstehen.

Vektorfelder

Die Stromdichte <math>\vec J</math> gibt an Strom pro Fläche in welche Richtung fließt. sind Beiträge nicht berücksichtigt die durch Paramagnetismus und Diamagnetismus in einem evtl. vorhandenen Medium induziert

<math>\vec D</math> ist die elektrische Flussdichte elektrische Verschiebungsdichte oder elektrische Erregung . Hierbei handelt es sich um die elektrische Feldstärke <math>\vec E</math> ohne Berücksichtigung von Beiträgen die Polarisation des Mediums. Im Vakuum ist die elektrische Flussdichte bis auf Faktor der nur durch das Einheitensystem bedingt ist identisch mit der elektrischen

Die magnetische Feldstärke oder magnetische Erregung <math>\vec H</math> ist die magnetische Flussdichte oder Induktion <math>\vec B</math> ohne Berücksichtigung von paramagnetischen diamagnetischen Beiträgen durch das Medium. Im Vakuum die magnetische Flussdichte und die magnetische Feldstärke wiederum bis auf einen Faktor der nur das Einheitensystem bedingt ist.

Die Beziehungen zwischen der elektrische Flussdichte der elektrische Feldstärke der magnetische Feldstärke und magnetische Flussdichte sowie der Stromdichte und der Feldstärke werden durch die Materialgleichungen beschrieben.

Die elektrische Feldstärke und die magnetische sind die physikalischen Felder. Bei Anwesenheit eines sind die elektrische Flussdichte und die magnetische Hilfsgrößen die die Berechnung der Felder vereinfachen der Beitrag des Mediums nicht von vornherein sein muss.

Kovariante Formulierung der Maxwellgleichungen

In diesem Absatz wird wie im übrigen das SI-Einheitensystem verwendet. Dieses und die damit verbundenen <math>\mu_0</math> <math>\epsilon_0</math> etc. empfinden viele Theoretiker gerade der kovarianten Formulierung der Elektrodynamik als unnatürlich verwenden andere Systeme etwa Gauß-Einheiten oder Heaviside-Lorentz-Einheiten in denen die Grundgrößen Elektrodynamik anders definiert werden. In der Literatur deshalb verglichen mit dieser Darstellung Vorfaktoren wegfallen oder an andere Stellen rücken.

Die Elektrodynamik wie sie durch die beschrieben wird ist verträglich mit der speziellen Relativitätstheorie . Dazu gehört dass die Maxwellgleichungen in Inertialsystem gelten ohne dass sich beim Wechsel Bezugssystems ihre Form ändert. Dies spielte historisch die Entwicklung der Relativitätstheorie durch Albert Einstein wichtige Rolle.

Technischer formuliert sind die Maxwellgleichungen relativistisch kovariant oder forminvariant das heißt dass sie ihre Gestalt Lorentz-Transformationen nicht ändern.

Diese Eigenschaft ist den Maxwellgleichungen in oben beschriebenen Form jedoch nicht ohne weiteres Es kann deshalb nützlich sein durch eine der Theorie die Forminvarianz herauszuarbeiten anders ausgedrückt: Theorie „manifest kovariant“ zu schreiben.

Hierzu muss man die oben auftretenden <math>\vec{E}</math> <math>\vec{B}</math> usw. durch Größen ausdrücken die klar definiertes einfaches Transformationsverhalten unter Lorentz-Transformationen haben durch Lorentz- Skalare Vierervektoren und Vierer- Tensoren höherer Stufen.

Ausgangspunkt für diese Umformulierung bilden die Potentiale <math>\phi</math> (skalares Potential) und <math>\vec{A}</math> (Vektorpotential) denen man die elektrischen und magnetischen Felder folgt erhält (siehe auch Elektrodynamik ):

  • <math>\vec{E} = -\vec{\nabla} \phi - \partial_t
  • <math>\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}</math>
Diese Größen lassen sich zu einem dem Viererpotential

<math> A^\mu = \left(\frac{\phi}{c} \vec{A} \right)^\mu </math>

zusammenfassen. Ebenso kann man aus Ladungsdichte und Stromdichte <math>\vec{J}</math> die Viererstromdichte zusammensetzen:

<math> j^\mu = (c \rho \vec{J}) </math>

Aus dem Vierpotential wird der elektrodynamische Feldstärketensor abgeleitet dessen Komponenten bis auf Vorzeichen konstante Vorfaktoren die vom Einheitensystem abhängen gerade der elektrischen und magnetischen Felder sind:

<math>
 F^{\alpha\beta} = \partial^\alpha A^\beta - \partial^\alpha = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{E_x}{c} & -\frac{E_y}{c} -\frac{E_z}{c} \\ \frac{E_x}{c} & 0 & -B_z B_y \\ \frac{E_y}{c} & B_z & 0 -B_x \\ \frac{E_z}{c} & -B_y & B_x 0 \\ \end{pmatrix}^{\alpha\beta}  
</math>

Mit diesen Größen geschrieben kann man beiden inhomogenen Maxwellgleichungen im Vakuum durch folgende kovariante Gleichung

<math>
 \partial_{\alpha} F^{\alpha\beta} = \mu_0 j^{\beta}  
</math>

Dabei wird wie üblich die Einsteinsche benutzt das heißt über doppelt auftretende Indizes Produkten (hier <math>\alpha</math>) wird summiert.

Die beiden homogenen Maxwellgleichungen erhalten im Vakuum die manifest kovariante

<math>
 \partial_\alpha F_{\beta\gamma} + \partial_\beta F_{\gamma\alpha} + F_{\alpha\beta} = 0  
</math>

Dies wird auch häufig mit dem Levi-Civita-Symbol kompakter geschrieben als

<math>
 \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \partial_\alpha F_{\gamma\delta} = 0  
</math>

oder

<math>
 \partial_\alpha \mathcal{F}^{\alpha\beta} = 0  
</math>

mit dem dualen Feldstärketensor

<math>
 \mathcal{F}^{\alpha\beta} = \frac{1}{2} \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} F_{\gamma\delta}  
</math>

dessen Komponenten man auch aus denen <math>F^{\alpha\beta}</math> erhalten kann indem man <math>\vec{E}/c</math> durch und <math>\vec{B}</math> durch <math>-\vec{E}/c</math> ersetzt.

Sonstiges

Im ladungsfreien Raum mit ρ = und <math>\vec J</math> = 0 kann man diesen Gleichungen eine Wellengleichung ableiten deren Lösungen sich mit Lichtgeschwindigkeit fortpflanzen. Hierbei handelt es sich um elektromagnetischen Wellen .

<math>\vec E</math> und <math>\vec D</math> sind hinreichend kleinen Feldstärken in guter Näherung proportional einander. Die Abweichungen von dieser Proportionalität bei Feldstärken bilden die Grundlage der nichtlinearen Optik .

Die Maxwellgleichungen beschreiben die elektromagnetische Wechselwirkung Rahmen der klassischen Physik . In der Quantenphysik ist dazu die Quantenelektrodynamik erforderlich.

Siehe auch: James Clerk Maxwell Maxwell-Beziehungen (für die Zustandsgrößen der Thermodynamik )



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