Mengenalgebra

Formale Definition

Jede Mengenalgebra Ξ ist Teilmenge der Potenzmenge Π( X ) einer Grundmenge X . Folgende Axiome müssen gelten:

(1) Ξ enthält die Grundmenge X ;

(2) mit jeder Menge A enthält Ξ auch das Komplement X \ A ;

(3) mit jeden zwei Mengen A B enthält Ξ auch deren Vereinigung A ∪ B .

Das zweite und dritte Axiom können so formuliert werden: Ξ ist abgeschlossen bezüglich der Komplementbildung und Vereinigung.

Verwandte Strukturen

Wenn man Axiom (3) verschärft und Abgeschlossenheit auch gegenüber abzählbar unendlich vielen Vereinigungen erhält man die Definition einer σ-Algebra .

Wenn man auf Axiom (1) verzichtet man die Definition eines Mengenrings.

Jede Mengenalgebra ist eine Boolsche Algebra .

Eigenschaften

Aus den Axiomen folgt dass Ξ abgeschlossen bezüglich der Schnittmengenbildung ist. Man kann auch umgekehrt die unter Schnittmengenbildung axiomatisch fordern und daraus auf Abgeschlossenheit unter Vereinigung schließen.

Eine Mengenalgebra bildet eine Monoid (Ξ ∪ ø) mit der Vereinigung innerer Verknüpfung und der Nullmenge als neutralem Sie bildet ein weiteres Monoid (Ξ ∩ X ) mit dem Schnitt als Verknüpfung und Grundmenge als neutralem Element.

Aufgrund der Existenz eines Komplements bildet Mengenalgebra überdies einen distributiven Verband .

Bücher zum Thema Mengenalgebra

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