Metrischer Raum

Eine Metrik ist in der Mathematik eine Funktion die je zwei Punkten eines Raums einen reellen Wert zuordnet der als Abstand der beiden Punkte voneinander aufgefasst werden kann.

Ein Raum ist eine Menge deren Elemente in geometrischer Interpretation als aufgefasst werden. Ein metrischer Raum ist ein Raum auf dem eine Metrik definiert ist. Ein metrischer Raum ist topologischer Raum mit der durch die Metrik induzierten Topologie ; ein metrisierbarer Raum ist ein topologischer Raum dessen Topologie durch eine Metrik induziert könnte.

Zu anderen Wortbedeutungen siehe die Begriffsklärungsseite Metrik . Manchmal werden entgegen dem Sprachgebrauch der auch Distanzfunktionen als Metriken bezeichnet.

Zu speziellen Metriken in der Differentialgeometrie und in der Physik siehe Semi-Riemannsche Metrik und Riemannsche Metrik .

Inhaltsverzeichnis

1 Formale Definition 2 Beispiele: durch Normen erzeugte Metriken 3 Beispiele: nicht durch Normen erzeugte Metriken 4 Einordnung in die Hierarchie mathematischer Strukturen 5 Geschichte

Formale Definition

Sei X eine beliebige Menge. Eine Abbildung d : X × X → R heißt Metrik wenn für beliebige Elemente x y und z von X die folgenden axiomatischen Bedingungen erfüllt sind:

• (i) d ( x x ) = 0;
• (ii) aus d ( x y )=0 folgt x = y (Definitheit);
• (iii) d ( x y )= d ( y x ) (Symmetrie);
• (iv) d ( x y ) ≤ d ( x z ) + d ( z y ) ( Dreiecksungleichung ).

Das Paar ( X d ) ist dann ein metrischer Raum . In der Praxis bezeichnet man zumeist X allein als den metrischen Raum wenn dem Kontext klar ist dass in diesem die Metrik d gilt.

Zur Erläuterung:

• Die Definitheit besagt dass nichtidentische Punkte einen größer als Null haben. Wird auf diese verzichtet erhält man eine Pseudometrik .
• Die Symmetrie besagt dass es keinen Unterschied "Hinweg-Abstand" und "Rückweg-Abstand" gibt.
• Die Dreiecksungleichung besagt dass der Abstand entlang direkten Weg also entlang der kürzesten Verbindung zwei Punkten gemessen wird. Ein Umweg über dritten Punkt kann nicht kürzer als der Weg sein. Wird diese Bedingung dahingehend verschärft der Abstand d ( x y ) nicht länger sein darf als der der beiden Abstände d ( x z ) und d ( z y ) (mit beliebigem z !) erhält man eine Ultrametrik .

Oft wird zusätzlich zu den hier Axiomen noch die Forderung

• d ( x y ) ≥ 0 (Abstände können nicht negativ

Eine Abbildung welche die Metrik erhält Isometrie . Figuren die von einer Isometrie aufeinander werden können heißen kongruent zueinander.

Beispiele: durch Normen erzeugte Metriken

Jede Norm auf einem Vektorraum definiert eine Metrik durch die Gleichung

d ( x y ) := || x - y ||.

Eine Metrik die aus einer p -Norm (siehe dazu den Artikel normierter Raum ) abgeleitet ist heißt auch Minkowski-Metrik . Wichtige Spezialfälle sind

• die Manhattan-Metrik zu p =1;
• die Euklidische Metrik zur p =2;
• die Maximum-Metrik zu p =∞.

Aus einer p -Norm abgeleitet sind zum Beispiel die Metriken folgenden wichtigen Räume:

• der eindimensionale Raum der reellen oder komplexen mit dem absoluten Betrag als Norm (mit beliebigem p !) und der dadurch gegebenen Metrik

d ( x y ) = | x - y |;

• der euklidische Raum mit seiner durch den Satz des Pythagoras gegebenen Euklidischen Metrik (zur 2-Norm)

||( x ₁ x ₂ ... x _n )|| = x ₁ ² + x ₂ ² + ... + x _n ² ;

Als eine Fréchet-Metrik wird gelegentlich eine Metrik

d ( x y ) := ρ( x - y )

Beispiele: nicht durch Normen erzeugte Metriken

• Auf jeder Menge lässt sich eine triviale Metrik (die sogar eine Ultrametrik ist) definieren

  • d( x x ) = 0
  • d( x y ) = 1 für x ≠ y .

• Im allgemeinen nicht durch eine Norm induziert die Riemannsche Metrik die aus einer differenzierbare Mannigfaltigkeit eine Riemannsche Mannigfaltigkeit macht. Beispiele dafür:
  • die natürliche Metrik auf einer Kugeloberfläche in der Großkreis die kürzeste Verbindung ( Geodäte ) zwischen zwei Punkten ist;
  • die uneigentliche Metrik im Minkowski-Raum R × R ³ der speziellen Relativitätstheorie in der zeitähnliche Abstände durch [(Δt) ² - (Δx/c) ² - (Δy/c) ² - (Δz/c) ² ] ^1/2 und ortsähnliche Abstände durch [(Δx) ² + (Δy) ² + (Δz) ² - (Δct) ² ] ^1/2 gegeben sind;
  • die von der Materieverteilung abhängige Verallgemeinerung dieser in der allgemeinen Relativitätstheorie .

• Die folgenden Metriken messen den Abstand zwischen Teilmengen nicht Elementen eines metrischen Raums; man könnte sie Metriken zweiten Grades bezeichnen denn sie greifen eine Metrik ersten Grades zwischen den Elementen metrischen Raums zurück:
  • Die Hausdorff-Metrik misst den Abstand zwischen nichtleeren kompakten eines metrischen Raums.
  • Als Fréchet-Metrik wird gelegentlich eine Metrik bezeichnet die Abstand zwischen zwei Kurven als das Maximum Abstands zwischen korrespondierenden Punkte nach Festlegung einer Korrespondenz misst; welche Korrespondenzen zugelassen werden wird verschiedenen Anwendungen unterschiedlich definiert.

Einordnung in die Hierarchie mathematischer Strukturen

Metriken geben einem Raum eine globale eine lokale Struktur. Die globale Struktur kommt geometrischen Eigenschaften wie der Kongruenz von Figuren zum Ausdruck. Die lokale Struktur also die Definition kleiner Abstände ermöglicht bestimmten zusätzlichen Voraussetzungen die Einführung von Differentialoperationen.

Die verschiedenen topologischen Räume verallgemeinern die möglichen lokalen Struktur metrischer

Jeder metrische Raum ist ein topologischer Raum mit der Topologie die durch die induziert wird (siehe dazu Umgebung ). Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum .

Ein topologischer Raum heißt metrisierbar wenn eine Metrik existiert die mit gegebenen Topologie verträglich ist also von der induziert sein könnte.

Ein vollständiger metrischer Raum ist ein metrischer Raum in dem Cauchyfolge konvergiert . Siehe dazu den ausführlichen Artikel vollständiger Raum . Ein vollständiger normierter Vektorraum heißt Banachraum . Ein Banachraum dessen Norm durch ein Skalarprodukt induziert ist heißt Hilbertraum .

Geschichte

Metrische Räume wurden in der Arbeit Sur quelques points du calcul fonctionnel (1906) von Maurice Fréchet erstmals verwendet.

Bücher zum Thema Metrischer Raum

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