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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenMontag, 28. Juli 2014 

Minimalpolynom


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Der Begriff Minimalpolynom hat in der Mathematik zwei Bedeutungen: eine in der linearen Algebra und eine in der Körpertheorie .

Inhaltsverzeichnis

lineare Algebra

Das Minimalpolynom p einer quadratischen n × n - Matrix A über einem Körper K ist das normierte Polynom kleinsten Grades Koeffizienten in K so dass p ( A ) = 0 (die Nullmatrix) ist.

Folgende Aussagen für λ aus K sind äquivalent :

Die Vielfachheit einer Nullstelle λ von p ist gleich der geometrischen Vielfachheit des Eigenwerts λ von A und ist die Größe des größten λ gehörenden Jordanblocks der Jordanschen Normalform von A .

Körpertheorie

In der Körpertheorie ist das Minimalpolynom ein Begriff der einer Körpererweiterung auftritt.

Sei L / K eine Körpererweiterung und x ein Element von L . Ein Minimalpolynom m = minpol K ( x ) von x über K ist definiert als normiertes Polynom kleinsten Grades mit Koeffizienten in K das x als Nullstelle hat.

Falls ein Minimalpolynom von x existiert ist es eindeutig bestimmt und Element x heißt algebraisches Element der Erweiterung L / K oder algebraisch über K . Dies erlaubt es von dem Minimalpolynom zu sprechen.

Fall kein Minimalpolynom von x existiert dann heißt x transzendent über K .

Beispiel

Betrachte die Körpererweiterung Q ( i )/ Q mit der imaginären Einheit i . Das Minimalpolynom von i ist <math>x^2+1</math> denn es hat i als Nullstelle ist normiert und jedes kleineren Grades wäre linear und hätte nur Nullstelle in Q .

Das Polynom <math>x^3+x</math> ist kein Minimalpolynom Elementes irgendeiner Erweiterung da es sich als x</math> darstellen lässt und für keine seiner ein Polynom kleinsten Grades ist.

Eigenschaften


Minimalpolynome sind irreduzibel über dem Grundkörper.

Jedes Polynom mit Koeffizienten im Grundkörper ein algebraisches Element x als Nullstelle hat ist ein (Polynom-)Vielfaches Minimalpolynoms von x .

Der Grad des Minimalpolynoms von x ist gleich dem Grad der einfachen K ( x )/ K .

Siehe auch: Zerfällungskörper



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