Modallogik

So lassen sich nicht nur Sätze "morgen wird es regnen" formulieren sondern auch wie " möglicherweise wird es morgen regnen möglicherweise auch nicht".

Die Sprache der unimodalen Modallogik

Die Sprache der unimodalen Modallogik enthält aussagenlogischen Formeln sowie zusätzlich alle Formeln der <math>\Box\phi</math> ("box phi" phi ist notwendig ) und <math>\Diamond\phi</math> ("diamond phi" phi ist möglich ) für alle modallogischen Formeln <math>\phi</math>.

Dabei kann Box durch Diamond definiert und umgekehrt:

• <math>\Box\phi\leftrightarrow\lnot\Diamond\lnot\phi</math> und
• <math>\Diamond\phi\leftrightarrow\lnot\Box\lnot\phi</math>

Zwei unmittelbare Folgerungen daraus sind die die De Morganschen Regeln erinnernden Sätze:

• "Es ist nicht notwendig dass X" äquivalent zu "Es ist möglich dass nicht und
• "Es ist nicht möglich dass X" äquivalent zu "Es ist notwendig dass nicht

Die Kripke- Semantik der unimodalen Modallogik

In der nach Saul Kripke benannten der Modallogik betrachtet man alle "logisch möglichen Ein Kripke-Modell besteht aus einer Menge solcher einer Zugänglichkeitsrelation zwischen ihnen und einer Interpretation der in jeder einzelnen der Welten.

Die Wahrheit einer Formel in einer Welt ist dann wie folgt definiert: aussagenlogische Tautologien gelten in allen Welten eine Formel in einer Welt genau dann wenn ihre Negation nicht gilt und eine Formel der <math>\Box\phi</math> gilt in einer Welt w genau wenn <math>\phi</math> in jeder von w zugänglichen w' gilt.

Will man die Modallogik gemäß dieser axiomatisieren so lässt sich dies durch die des Axiomenschemas K und der Schlussregel der Nezessisierung realisieren:

• Axiomenschema K: <math>\Box(\phi \rightarrow \psi) \rightarrow \rightarrow \Box\psi)</math>.
• Nezessisierungsregel: Wenn in allen Welten <math>\phi</math> so gilt auch in allen Welten <math>\Box\phi</math>.

Darüber hinaus benötigt man als Schlussregeln Modus ponens und die universelle Substitution.

Je nach Anwendung und intendierter Semantik man weitere Axiomenschemata hinzufügen etwa:

1. <math>\Box\phi \rightarrow \phi</math> (T)
2. <math>\Box\phi \rightarrow \Box\Box\phi</math> (4)
3. <math>\Diamond\phi \rightarrow \Box\Diamond\phi</math> (5)
4. <math>\phi \rightarrow \Box\Diamond\phi</math> (B)
5. <math>\Box\phi \rightarrow \Diamond\phi</math> (D)

Diese Schemata entsprechen in der obigen der Reflexivität Transitivität Euklidizität Symmetrie und Serialität Zugänglichkeitsrelation.

Eine der am häufigsten verwendeten Modallogiken basiert auf den Axiomenschemata K T und Auch andere Kombinationen der erwähnten Axiomanschemata sind und gebräuchlich.

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