Modul (Mathematik)

Ein Modul (Plural: Moduln ) ist eine algebraische Struktur die einem Vektorraum ähnlich ist. Man unterscheidet Links- und Rechtsmoduln .

Definitionen

• Seien <math>G=(G +)</math> eine abelsche Gruppe und <math>R=(R + \cdot )</math> ein Ring . Dann ist <math>G</math> zusammen mit einer Skalarmultiplikation <math>\cdot : R\times G\rightarrow G</math> ein Linksmodul wenn für alle <math>\alpha \beta \in und <math>g h \in G</math> gilt:
  1. <math>(\alpha \cdot \beta) \cdot g = \cdot (\beta \cdot g)</math> (Assoziativgesetz)
  2. <math>(\alpha + \beta) \cdot g = \cdot g + \beta \cdot g</math> ( Distributivgesetze )
  3. <math>\alpha \cdot (g + h) = \cdot g + \alpha \cdot h</math>

• Seien <math>G</math> und <math>R</math> wie oben <math>\cdot G\times R\rightarrow G</math> und <math>G</math> bilden analog Rechtsmodul .

Bemerkungen

• Ist <math>R</math> kommutativ so braucht man nicht zwischen Links- und Rechtsmoduln zu unterscheiden.

• Ist der Ring R sogar ein Körper dann ist der R -Modul G ein R - Vektorraum .

• Die Untersuchung der Eigenschaften von Moduln ist der Modultheorie.

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