Monoid

In der abstrakten Algebra ist ein Monoid ein Tripel aus einer Menge M einem binären Operator * auf M und einem ausgezeichneten Element e aus M geschrieben als ( M * e ) mit den folgenden Eigenschaften:

1. Abgeschlossenheit von M bezüglich des Operators:

<math>\forall a b\in M: a*b\in M</math>

2. e ist neutrales Element :

<math>\exists e\in M: \forall a\in M: e*a=a*e=a</math>

3. Assoziativität des Operators:

<math>\forall a b c\in M: (a*b)*c=a*(b*c)</math>

Ein Monoid ist also eine Halbgruppe mit neutralem Element.

Oft wird ein Monoid auch lediglich Paar geschrieben ohne explizit das neutrale Element aufzuführen also in der Form ( M *). Das heißt aber nicht dass neutrales Element nicht existiert.

Teil 3. der Definition rechtfertigt das von Klammern: Da * ein binärer Operator darf streng genommen "a * b * nicht geschrieben werden. Weil aber wegen der keine Verwechslungsgefahr besteht (egal welchen Teilausdruck man bestimmt das Ergebnis ist dasselbe) können Klammern evtl. Vereinbarung weggelassen werden.

Ein Beispiel für einen Monoid ist Menge der natürlichen Zahlen mit der Addition (im folgenden gilt 0 als natürliche Zahl):

<math>(\mathbb{N} + 0)</math>

Die Addition führt nicht aus den Zahlen heraus + ist assoziativ und 0 das neutrale Element. Die Assoziativität erlaubt die "a + b + c".

Beispiele und Gegenbeispiele für Monoide:

<math>(\mathbb{N} - 0) </math>	ist kein Monoid weil die Abgeschlossenheit erfüllt ist: 1-5=-4 ist keine natürliche Zahl
<math>(\mathbb{Z} - 0) </math>	ist kein Monoid da zwar die erfüllt ist aber die Minus-Operation nicht assoziativ
<math>(\mathbb{N} + 0) </math>	ist ein Monoid
<math>(\mathbb{Z} + 0) </math>	ist ein Monoid
<math>(\mathbb{N} \cdot 0)</math>	ist kein Monoid da das neutrale der normalen Zahlenmultiplikation die 1 ist und die 0.
<math>(\mathbb{N} \cdot 1)</math>	ist ein Monoid
<math>(\mathbb{R}^{n n} \cdot E)</math>	ist ein nichtkommutativer Monoid. Dabei ist <math>\mathbb{R}^{n n}</math> die der n×n- Matrizen und E die Einheitsmatrix .
jede Gruppe ist ein Monoid
...	(weitere Beispiele)

Es gibt eine sehr enge Verbindung der Theorie endlicher Monoide und der Automatentheorie . Daher spielen Monoide unter anderem auf Gebiet der theoretischen Informatik eine bedeutende Rolle.

siehe auch: Hierarchie mathematischer Strukturen Gruppentheorie

Bücher zum Thema Monoid

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