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Multiplikation


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Die Multiplikation ist eine der vier Grundrechenarten in der Arithmetik . Die Multiplikation natürlicher Zahlen entsteht durch das wiederholte Addieren des gleichen Summanden:

<math>

 \begin{matrix} \underbrace{b+b+\cdots+b}\\{a} \end{matrix} = \sum_{i=1}^{a}b = \cdot b  
</math>

a und b nennt man Faktoren oder Multiplikanden das Ergebnis heißt Produkt .

Zum Beispiel schreibt man 3 · für 4 + 4 + 4 und diesen Term als "dreimal vier".

Anstelle von 3 · 4 wird auch 3 × 4 geschrieben. In Computerprogrammen man oft das Zeichen * in anderen sollte man es jedoch vermeiden. Bei der mit Variablen wird der Punkt oft weggelassen (5 x xy ).

Bei der Multiplikation mehrerer oder vieler kann man das Produkt-Symbol verwenden:

<math>3*5*7*9*11 = \prod_{i=1}^5 2i+1 = 10.395</math>
oder auch
<math>\frac{3}{1} *\frac{4}{2} *\frac{5}{3} *...*\frac{n+2}{n} = \prod_{i=1}^n = \frac{(n+1)*(n+2)}{2}</math>

Die anschauliche Verallgemeinerung der Multiplikation und Rechenregeln auf die rationalen und reellen Zahlen erreicht man durch Betrachten eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b (in einer vorgegebenen Längeneinheit). Das Produkt a·b ist definiert als der Flächeninhalt dieses (in der entsprechenden Flächeneinheit).

Die Multiplikation rationaler Zahlen lässt sich formal mit Hilfe von Brüchen definieren. Ebenso man die Multiplikation während des Konstruktionsvorganges der aus den rationalen Zahlen definieren.

Die Umkehrrechnung zum Multiplizieren ist das Dividieren das auch als Multiplizieren mit den Kehrwert aufgefasst werden kann.

Inhaltsverzeichnis

Rechengesetze


Mehr oder weniger als zwei Faktoren

Das Produkt von mehr als zwei wird so definiert dass man von links je zwei Faktoren multipliziert und so fortfährt nur eine Zahl übrigbleibt. Das Assoziativgesetz besagt dass die Reihenfolge eigentlich egal ist man also auch von rechts beginnen oder (aufgrund Kommutativgesetzes) mit zwei beliebigen Faktoren anfangen.

Auch das Produkt von einem einzigen von gar keinen Faktoren ist definiert obwohl dazu nicht mehr multiplizieren muss: Das Produkt Zahl ist diese Zahl selbst und das von null Faktoren ist 1 (allgemein das neutrale Element der Multiplikation).

Es ist auch möglich ein unendliches zu bilden. Dabei spielt die Reihenfolge der allerdings eine Rolle man kann die Faktoren nicht mehr beliebig vertauschen und auch beliebige zu Teilprodukten sind nicht immer möglich. (Ähnlich bei unendlichen Summen.)

Verallgemeinerungen

Man definiert die Multiplikation komplexer Zahlen indem man die imaginäre Einheit i als Variable betrachtet und die Faktoren der Form a + bi formal ausmultipliziert.

Durch Forderung einiger der oben angegebenen gelangt man zu algebraischen Strukturen mit zwei einer Addition und einer Multiplikation. In einem Ring gibt es eine Addition mit der Menge eine abelsche Gruppe bildet und eine Multiplikation die assoziativ distributiv ist. Hat die Multiplikation ein neutrales nennt man den Ring unitär . Ist zusätzlich die Division immer möglich man einen Schiefkörper . Ist zusätzlich die Multiplikation kommutativ erhält einen Körper .

In Vektorräumen gibt es zwei Arten von Produkten: Skalarprodukt und (allerdings nur im R 3 ) das Kreuzprodukt (vektorielles Produkt).

Wiederholtes Multiplizieren mit dem gleichen Faktor zum Potenzieren z.B. ist

2·2·2·2·2·2 = 2 6 = 64

siehe auch

Linearfaktor Primfaktorzerlegung Russische Bauernmultiplikation



Bücher zum Thema Multiplikation

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