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Näherungslösungen für diskrete Verteilungen


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Inhaltsverzeichnis

Näherung für Hypergeometrische Verteilung:

Eine Hypergeometrische Verteilung H a b c bei der c viel kleiner als ist kann durch eine Binomialverteilung mit Menge ME = c und Einzelwahrscheinlichkeit EW = b/a werden.

Beispiel: In einem Behälter befinden sich Kugel davon sind 125 gelb. Es werden Kugeln ohne Zurücklegen entnommen.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau  1  2  3  4  5 der entnommenen gelb sind.

Die exaktere Hypergeometrische Verteilung H  1000 125 5 kann durch die leichter berechenbare Binomialverteilung 5 125/1000 angenähert werden.
n

H 1000 125 5 ( n ) in

B 5 125/1000 ( n ) in %

H / B
0

 51.21743713529586

 51.2908935546875

0.9985678467599065
1

 36.7518923186681

 36.6363525390625

1.0031536922100095
2

 10.452373044758817

 10.467529296875

0.998552069768679
3

  1.4726711162718609

  1.495361328125

0.9848262681223742
4

  0.1027836820281276

  0.1068115234375

0.9622901979136242
5

  0.002842702977235072

  0.0030517578125

0.9314969115803883

Näherung für Binomialverteilung durch Poisson-Verteilung:

Eine Binomialverteilung B ME EW bei der ME groß und EW ist kann durch eine Poisson-Verteilung mit λ = ME * EW angenähert werden.

Beispiel: Eine Veranstaltung wird von 70 besucht. Die Wahrscheinlichkeit in diesem Jahr an Montag Geburtstag zu haben beträgt für jeden 1/7.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau  1  2  3  ...  70 der Besucher diesem Jahr an einem Montag Geburtstag haben.

Die exaktere Binomialverteilung B  70 1/7 kann durch die leichter berechenbare Poisson-Verteilung 10 angenähert werden.
n

B 70 1/7 ( n ) in %

P 10 ( n ) in %

B / P
0

  0.002059324213047817

  0.004539992976248485

0.45359634339115
1

  0.024025449152224532

  0.04539992976248486

0.5291957339563417
2

  0.13814633262529105

  0.22699964881242427

0.6085750940497928
3

  0.5218861454733217

  0.7566654960414142

0.6897184399230984
4

  1.4569321561130226

  1.8916637401035354

0.7701855912474599
5

  3.2052507434486497

  3.783327480207071

0.8472041503722058
6

  5.787258286782282

  6.305545800345118

0.9178044962365559
7

  8.81867929414443

  9.007922571921597

0.9789914626523262
8

 11.57451657356456

 11.259903214901998

1.0279410357849423
9

 13.289259769648199

 12.511003572113333

1.0622057369777733
10

 13.510747432475664

 12.511003572113333

1.0799091659274027
11

 12.282497665886966

 11.37363961101212

1.0799091659274025
12

 10.064824476212932

  9.478033009176768

1.0619106798286126
13

  7.484100251542948

  7.290794622443666

1.0265136571676587
14

  5.078496599261285

  5.207710444602618

0.9751879743092757
15

  3.1599534395403555

  3.4718069630684125

0.9101754426886574
16

  1.8103899914033286

  2.169879351917758

0.8343274891312692
17

  0.9584417601547033

  1.2763996187751518

0.7508947402181421
18

  0.47034641933517835

  0.7091108993195289

0.6632903538593586
19

  0.2145439807493796

  0.37321626279975206

0.5748516400114442
20

  0.09118119181848632

  0.18660813139987603

0.4886238940097274
30

  5.155693687577098e-7

  0.000017115717355367895

0.030122568517177283
40

  8.526574737547631e-15

  5.5642945652105266e-11

0.00015323729967241635
50

  4.124466238879218e-25

  1.4927267257774844e-17

2.7630417327263945e-8
60

  1.671540317604914e-38

  5.456075000160363e-25

3.063631488855606e-14
70

  6.968466218141442e-58

  3.790095431519757e-33

1.8385991445463995e-25
71   0   5.3381625796052916e-34

0

Näherung für Binomialverteilung durch Dichtefunktion der

Eine Binomialverteilung B ME EW bei der ME groß und EW 0.5 ist kann durch die Dichtefunktion einer Normalverteilung mit Erwartungswert  = ME * EW und Streuung  = ME * EW * ( 1 - EW ) angenähert werden.

Beispiel: Eine Münze wird 20-mal geworfen. Wahrscheinlichkeit dass die Münze auf ihre Vorderseite liegt bei jedem einzelnen Wurf bei 50
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass die genau 0  1  2  3  ...  20-mal ihre Vorderseite fällt.

Die exaktere Binomialverteilung B  20 0.5 kann durch die leichter berechenbare Dichtefunktion Erwartungswert 10 und Streuung 5 angenähert werden.
n

B 20 0.5 ( n ) in %

"Normdichte" ( n ) in %

B / "Normdichte"
-1   0   0.00009918861648498695

0
0

  0.000095367431640625

  0.0008099910956089116

0.11773886423891171
1

  0.0019073486328125

  0.005415514964427321

0.352200787061106
2

  0.01811981201171875

  0.02964424401438653

0.611242169067462
3

  0.1087188720703125

  0.13285628439771074

0.8183193784409784
4

  0.4620552062988281

  0.48748912161279473

0.9478267017942436
5

  1.47857666015625

  1.4644982561926487

1.0096131244295243
6

  3.696441650390625

  3.6020844672153665

1.0261951611723872
7

  7.39288330078125

  7.253707348392292

1.0191868717201287
8

 12.013435363769531

 11.959341596728198

1.0045231392216551
9

 16.017913818359375

 16.143422587153616

0.9922253928424003
10

 17.619705200195312

 17.84124116152771

0.9875829288261564
11

 16.017913818359375

 16.143422587153616

0.9922253928424003
12

 12.013435363769531

 11.959341596728198

1.0045231392216551
13

  7.39288330078125

  7.253707348392292

1.0191868717201287
14

  3.696441650390625

  3.6020844672153665

1.0261951611723872
15

  1.47857666015625

  1.4644982561926487

1.0096131244295243
16

  0.4620552062988281

  0.48748912161279473

0.9478267017942436
17

  0.1087188720703125

  0.13285628439771074

0.8183193784409784
18

  0.01811981201171875

  0.02964424401438653

0.611242169067462
19

  0.0019073486328125

  0.005415514964427321

0.352200787061106
20

  0.000095367431640625

  0.0008099910956089116

0.11773886423891171
21   0   0.00009918861648498695

0

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