Abel war der Sohn von Soren Abel einem Theologen und Philologen und Ane Simonson. Er hatte sechs Geschwister. Abel besuchte 1821 die Universität von Christiania ( Oslo ). Er arbeitete von 1825 - 1827 im Ausland vorwiegend in Paris Berlin und Göttingen . Nach seiner Rückkehr wurde er Dozent der Universität und Ingenieurschule in Christiania.
Abel beschäftigte sich mit der Theorie elliptischen Funktionen. Er formulierte die Theorie des Integrals um in die Theorie der elliptischen indem er deren inverse Funktionen benutzte ("... he radically transformed the of elliptic integrals to the theory of functions by using their inverse functions ..."). diesem Gebiet arbeitete er mit Carl Gustav Jacob Jacobi zusammen. 1824 bewies er dass allgemeine Gleichungen 5.Grades nicht geschlossen gelöst werden können.