Normierter Raum

Eine Norm ist in der Mathematik eine Funktion die jedem Element eines Vektorraums eine reelle nichtnegative Zahl zuordnet. Die verallgemeinert den geometrischen Begriff der Länge eines Vektors .

Ein normierter Vektorraum oder kurz normierter Raum ist ein Vektorraum auf dem eine definiert ist.

Inhaltsverzeichnis

1 Formale Definition 2 Einordnung in die Hierarchie mathematischer Strukturen 3 Betragsnormen 4 Vektornormen 4.1 p-Normen 4.2 lp-Normen 4.3 Lp-Normen 5 Operatornormen 5.1 Matrixnormen

Formale Definition

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K der reellen oder komplexen Zahlen. Funktion V → R heißt Norm auf V wenn für alle Vektoren x y aus V und alle Skalare α aus K die folgenden axiomatische Bedingungen erfüllt sind:

• (i) || x || ≥ 0 (Positivität);
• (ii) || x || = 0 ⇒ x = 0 (Definitheit);
• (iii) ||α· x || = |α|·|| x || (Homogenität);
• (iv) || x + y || ≤ || x || + || y || (die Dreiecksungleichung ).

Ein Vektorraum mit einer Norm heißt normierter Vektorraum oder normierter Raum .

Bemerkungen:

• Aus Bedingung (iii) folgt ||0||=0 (weshalb man (ii) auch ⇔ statt ⇒ schreiben könnte) ||- x ||=|| x ||.
• Wenn auf die Definitheit (Axiom ii) verzichtet dann ist ||·|| nur eine Halbnorm (auch: Pseudonorm ). Aus einem Raum mit Halbnorm erhält einen normierten Raum als Faktorraum.

Einordnung in die Hierarchie mathematischer Strukturen

Jede Norm induziert eine Metrik

d ( x y ) := || x - y ||.

Eine Norm kann muss aber nicht ein Skalarprodukt <· ·> definiert sein. Jeder Innenproduktraum (das ist ein Vektorraum mit einem ist mit

|| x || := √< x x >

Ein normierter Raum heißt vollständig wenn in ihm jede Cauchyfolge konvergiert . Ein vollständiger normierter Raum heißt Banachraum und ein vollständiger normierter Innenproduktraum heißt Hilbertraum .

Betragsnormen

Normen auf Körpern (siehe z.B. p-adische Zahlen ) sind die absoluten Beträge .

Vektornormen

p-Normen

Für endlichdimensionale Räume sind die so p -Normen definiert als:

<math>

 ||x||_p := \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{1/p}  

<math>

 ||x||_\infty := \max\{|x_i|: i=1 \ldots n\} 

Dabei ist p eine reelle Zahl größergleich 1 n ist die Dimension des Vektorraums und | x _i | der Absolutbetrag der i -ten Vektor-Komponente. Die aus diesen Normen abgeleiteten heißen auch Minkowski-Metriken .

Zur Veranschaulichung betrachten wir zweidimensionale Vektoren r =( x y ). Die Menge aller r mit || r ||=1 bildet einen verallgemeinerten Einheitskreis . Mit den Normen zu p =1 p =2 und p =∞ ergeben sich in einem kartesischen Koordinatensystem Graphen:

p = 1

p = 2

p = ∞

Die 1-Norm

• ||( x y )|| ₁ = | x | + | y |

Nur in der 2-Norm

• ||( x y )|| ₂ = √(x² + y²)

Die Norm zu p =∞

• ||( x y )|| _∞ = max{| x | | y |}

l _p -Normen

Die "l _p -Normen" sind eine Verallgemeinerung der p-Normen auf unendlichdimensionale Vektorräume.

Betrachte die Menge R ^N aller reellen Zahlenfolgen . Für eine reelle Zahl p ≥ 1 bzw. das Symbol p = ∞ betrachten wir die Teilmenge

<math> l_p := \{ (a_n) \in \mathbb{R}^\mathbb{N} \sum_{n=0}^\infty |a_n|^p < \infty \} \qquad p [1 \infty) </math>

<math> l_\infty := \{ (a_n) \in \mathbb{R}^\mathbb{N} \sup_{n\in \mathbb{N}} |a_n| < \infty \} </math>

aller "in p -ter Potenz summierbaren Folgen" bzw. aller beschränkten Dies sind R -Vektorräume. Auf diesen Mengen definiert man die genannte l _p -Norm :

<math> \|(a_n)\|_p := \sqrt[p]{\sum_{n=0}^\infty |a_n|^p} </math>

<math> \|(a_n)\|_\infty := \sup_{n\in\mathbb{N}} |a_n| </math>

Mit diesen Normen werden die l _p zu ( vollständigen? ) normierten Räumen.

L _p -Normen

Die Definition der L _p -Räume und -Normen wird hier nur kurz ausführlichere Informationen dazu im Artikel Lp-Raum.

Analog zu den Folgenräumen kann man Vektorraum der Funktionen von R nach R betrachten und darin die "in p -ter Potenz integrierbaren Funktionen" herausgreifen für die so genannte L _p -Normen definiert. Das ist jedoch erstmal nur Pseudonorm da || f || = 0 nicht ausschließlich für die gilt. Man geht deshalb über zu einem Faktorraum (den man L _p nennt) auf dem die L _p -Norm dann eine Norm ist.

Operatornormen

Für einen Operator f wird seine Operatornorm (anschaulich der größtmögliche bezüglich einer Vektornorm folgendermaßen definiert:

<math>\|f\| = sup_{x \in V} \frac{\|f(x)\|}{\|x\|}</math>

Matrixnormen

Für reelle oder komplexe Matrizen kann die Operatornormen der entsprechenden linearen Abbildungen Ax für einige Vektornormen (hier die 1 und Maximumsnorm) explizit angeben.

Spaltensummennorm	A \right\|_1 = \max_j{\sum_{i=1}^n \left| a_{ij}
Spektralnorm	A \right\|_2 = \sqrt{\lambda_{max}(A^{Tr}\cdot A)}</math> wobei <math>\lambda_{max}</math> der betragsgrößte Eigenwert ist
Zeilensummennorm	A \right\|_\infty = \max_i{\sum_{j=1}^m \left| a_{ij}

Matrixnormen haben einige nützliche Eigenschaften so beispielsweise der Spektralradius einer Matrix (der betragsgrößte immer kleiner als ihre Norm unabhängig davon Norm gewählt wurde. Sie werden insbesondere in numerischen Mathematik benutzt. Zusätzlich zu den oben genannten erfüllen Matrixnormen immer die multiplikative Dreiecksungleichung:

<math>\|A \cdot B\| \leq \|A\|\|B\| </math>

Es ist möglich Abbildungen auf dem zu definieren die die Normeigenschaften sowie die Dreiecksungleichung erfüllen jedoch nicht eine von einer herrührende Operatornorm sind. Die bekannteste von diesen die Frobeniusnorm:

<math>\|A\|_{F} = \sqrt{\sum_{i j}|a_{ij}|^{2}}</math>

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