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Nullteiler


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In der Algebra ist ein Nullteiler eines kommutativen Ringes R ein vom Nullelement verschiedenes Element a für das es ein Element b ungleich 0 gibt so dass ab =0.

Ist R ein nichtkommutativer Ring und a ungleich 0 dann unterscheidet man stattdessen

  • Linksnullteiler : es gibt ein Element b ungleich 0 so dass ab =0
  • Rechtsnullteiler : es gibt ein Element b ungleich 0 so dass ba =0
  • (beidseitiger) Nullteiler : es gibt Elemente b c ungleich 0 so dass ab =0 ca =0.

Ein Ring ohne einseitige oder beidseitige heißt nullteilerfrei .

Ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit 1 Integritätsring .

Beispiele

Der Ring Z der ganzen Zahlen ist nullteilerfrei der Ring Z 2 (mit komponentenweise Addition und Multiplikation) enthält Nullteiler (0 1) und (1 0) denn 1)*(1 0)=(0 0).

Jeder Körper ist nullteilerfrei.

Der Restklassenring Z /6 Z hat die Nullteiler 2 und 3 2*3=0 mod 6.

Allgemein ist der Restklassenring Z /n Z nullteilerfrei (sogar ein Körper ) genau dann wenn n eine Primzahl ist.

Der Ring der reellen 2x2-Matrizen enthält Nullteiler

<math>
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 2 \end{pmatrix} </math> denn
<math>
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 -1 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 -1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 2 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 0 \end{pmatrix} </math>

Allgemein sind die Nullteiler im Ring n-mal-n-Matrizen über einem Körper oder Integritätsring genau Matrizen mit Determinante 0 (hier gibt es trotz fehlender keinen Unterschied zwischen Links- und Rechtsnullteilern).

Eigenschaften

Idempotente Elemente ungleich 0 eines Rings sind denn aus a 2 = a folgt a *( a -1) = ( a -1)* a = 0. Nilpotente Elemente ungleich 0 x mit x n = 0 für ein n aus N ) sind trivialerweise Nullteiler.

Nullteiler sind keine Einheiten denn wäre a invertierbar und ab =0 dann wäre 0= a -1 0= a -1 ab = b .

In einem nichtkommutativen Ring mit Einselement a = a 1= a für alle a ) gilt diese Aussage nur so: Ein hat kein Linksinverses. Jedoch kann ein Linksnullteiler Rechtsinverses haben. Analoges gilt für Rechtsnullteiler. (Ein Nullteiler hat demnach auch hier kein Inverses.)

Ist a ein Linksnullteiler dann ist offensichtlich für b das Produkt ba ebenfalls ein Linksnullteiler oder gleich Null. Produkt ab muss aber kein Links- oder Rechtsnullteiler (siehe dazu das Beispiel des Matrixrings R im Artikel Einheit (Mathematik) dessen Elemente A und B einseitige Nullteiler sind die jeweils einseitige voneinander sind da AB = E die Einheitsmatrix ist).



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