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In der Algebra ist ein Nullteiler eines kommutativen Ringes R ein vom Nullelement verschiedenes Element a für das es ein Element b ungleich 0 gibt so dass ab =0.
Ist R ein nichtkommutativer Ring und a ungleich 0 dann unterscheidet man stattdessen
Linksnullteiler : es gibt ein Element b ungleich 0 so dass ab =0
Rechtsnullteiler : es gibt ein Element b ungleich 0 so dass ba =0
(beidseitiger) Nullteiler : es gibt Elemente b c ungleich 0 so dass ab =0 ca =0.
Ein Ring ohne einseitige oder beidseitige heißt nullteilerfrei .
Der Ring Z der ganzen Zahlen ist nullteilerfrei der Ring Z 2 (mit komponentenweise Addition und Multiplikation) enthält Nullteiler (0 1) und (1 0) denn 1)*(1 0)=(0 0).
Allgemein sind die Nullteiler im Ring n-mal-n-Matrizen über einem Körper oder Integritätsring genau Matrizen mit Determinante 0 (hier gibt es trotz fehlender keinen Unterschied zwischen Links- und Rechtsnullteilern).
Idempotente Elemente ungleich 0 eines Rings sind denn aus a 2 = a folgt a *( a -1) = ( a -1)* a = 0. Nilpotente Elemente ungleich 0 x mit x n = 0 für ein n aus N ) sind trivialerweise Nullteiler.
Nullteiler sind keine Einheiten denn wäre a invertierbar und ab =0 dann wäre 0= a -1 0= a -1 ab = b .
In einem nichtkommutativen Ring mit Einselement a = a 1= a für alle a ) gilt diese Aussage nur so: Ein hat kein Linksinverses. Jedoch kann ein Linksnullteiler Rechtsinverses haben. Analoges gilt für Rechtsnullteiler. (Ein Nullteiler hat demnach auch hier kein Inverses.)
Ist a ein Linksnullteiler dann ist offensichtlich für b das Produkt ba ebenfalls ein Linksnullteiler oder gleich Null. Produkt ab muss aber kein Links- oder Rechtsnullteiler (siehe dazu das Beispiel des Matrixrings R im Artikel Einheit (Mathematik) dessen Elemente A und B einseitige Nullteiler sind die jeweils einseitige voneinander sind da AB = E die Einheitsmatrix ist).
