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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenSonntag, 31. August 2014 

Nyquist-Shannon Abtasttheorem


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Das Nyquist-Shannonsche Abtasttheorem besagt dass ein kontinuierliches Signal mit Maximalfrequenz f max mit einer Frequenz größer als 2 f max abgetastet werden muss damit man aus so erhaltenen zeitdiskreten Signal das Ursprungssignal ohne wieder rekonstruieren kann:

<math> f_{abtast} > 2 \cdot f_{max} </math>

In der Praxis bedeutet das dass vor der Digitalisierung die maximale Frequenz kennen herausfinden muss (zum Beispiel mit Hilfe der Fourier-Analyse eines hochfrequent abgetasteten Signals) und dann Signal zwecks Digitalisierung mit mindestens der doppelten abgetastet werden muss.

Das Nyquist-Shannon Abtasttheorem findet bei jeder Anwendung. 0 5 * f abtast nennt man die Nyquist-Frequenz .

Inhaltsverzeichnis

Tiefpass zur Verhinderung von Signalstörungen

Eventuell enthaltene Signalanteile mit einer Frequenz der halben Abtastfrequenz müssen vor der Digitalisierung mit einem Tiefpass-Filter aus dem Signal herausgefiltert werden da sonst zu Artefakten kommt.

Diese Artefakte sind Alias-Signale (Störsignale Pseudosignale) die sich als störende bemerkbar machen. Wird zum Beispiel ein Sinus 1600 Hz mit einer Abtastfrequenz von 2000 digitalisiert erhält man ein 400 Hz Alias-Signal Hz). Bei einer Abtastfrequenz über 3200 Hz dagegen kein Alias-Signal.

Zu mathematischen Grundlagen siehe: Fourier-Transformation

Abtasttheorem bei Bildern

Alias-Signale treten auch beim Scannen von mit wechselnden Ortsfrequenzen auf man spricht dann einem Moiré. (z.B. Kleidungsstücke wie Wollpullis oder mit dünnen Streifen auch Ziegeldächer etc.) Oft Moirés auch im Fernsehen zu sehen wenn Nadelstreifenanzüge tragen.

Im hier vorliegenden Fall ist die eine Überlagerung der Spektren der Abtast-Funktion deren mit f abtast periodisch sind.

Modifizierte Formel für praktische Anwendung


Weil Tiefpassfilter nicht beliebig steil gestaltet können verwendet man in der Praxis eine Formel:

Beispiel:

<math> f_{abtast} \approx 2 2 \cdot f_{max}

Bei einer CD werden Frequenzen bis KHz übertragen die Abtastfrequenz beträgt 44 1

Der verwendete Faktor ist abhängig vom Tiefpassfilter und von der benötigten Dämpfung der Andere gebräuchliche Faktoren sind 2.4 ( DAT DVD ) und 2.56 (FFT-Analysatoren)

Überabtastung (Oversampling)

Wenn man eine höhere Abtastfrequenz wählt man keine zusätzlichen Informationen. Der Aufwand für Speicherung und Übertragung steigt jedoch. Trotzdem wird häufig angewendet.

Liegt nämlich die Nutzbandbreite B sehr bei der Abtastfrequenz so werden sehr hohe an die Flankensteilheit des Tiefpassfilters gestellt. Diese Filter können häufig nur mit großem Aufwand werden.

Oversampling erlaubt es die Anforderungen an analoge Tiefpassfilter drastisch zu reduzieren in dem steilflankige Bandbegrenzung auf ein präzises Digitalfilter hoher verlagert wird. (In der Praxis wird häufig Oversampling-Faktor M = 2 oder M = gewählt).

Somit braucht man weniger steile analoge vor dem Abtasten. Nach der Abtastung wird das digitale Filter angewendet und gleichzeitig die reduziert. Das digitale Filter wird auch als Dezimierfilter bezeichnet.

Unterabtastung (Sub-Nyquist-Sampling)

Das Konzept f abtast > 2 · f max ist eine vereinfachte Darstellung die allerdings gebräuchlich und nützlich ist. Genau genommen muss von f max die Bandbreite stehen welche definiert ist durch den zwischen niedrigster und höchster im Signal vorkommenden Nur in Basisbandsignalen ist die Bandbreite mit f max identisch Basisbandsignale sind Signale mit niederfrequenten in der Nähe von 0 Hz.

Diese Erkenntnis führte zu einem Konzept Unterabtastung welches z. B. in digitaler Radiotechnik findet. Angenommen man möchte alle Radiosender empfangen zwischen 88 und 108 MHz senden interpretiert das Abtasttheorem in seiner Basisband-Version müsste die über 216 MHz liegen. Tatsächlich wird aber die Technik der Unterabtastung nur eine Abtastfrequenz mehr als 40 MHz benötigt. Voraussetzung dafür dass vor der Digitalisierung aus dem Signal Bandpassfilter alle Frequenzen außerhalb des Frequenzbereichs von - 108 MHz entfernt werden. Wird das dann beispielsweise mit 44 MHz abgetastet erscheint analoge Frequenz von 100 MHz als 12 im Digitalsignal. Durch das Wissen über die und das Bandpassfilter kann dieses Signal korrekt 100 MHz-Signal interpretiert werden.

Modem-Standard V.90

Oberflächlich betrachtet scheint die Übertragungsgeschwindigkeit beim V.90 dem Abtasttheorem zu widersprechen dies ist nicht der Fall.

Referenzen

Siehe auch: Informationstheorie Claude Shannon

Literatur: Artikel "Signalabtastung" in Funkamateur 5/2004 S. 457



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