Offene Menge

In dem Teilgebiet Topologie der Mathematik ist eine offene Menge eine Menge mit einer weiter unten genau definierten Anschaulich ist eine Menge offen wenn ihre nur von Elementen dieser Menge umgeben sind anderen Worten wenn kein Element der Menge ihrem Rand liegt.

Ein einfaches Beispiel ist das Intervall (0 1) in den reellen Zahlen . Jede reelle Zahl x mit der Eigenschaft 0 < x < 1 ist nur von Zahlen derselben Eigenschaft umgeben: Wähle als Umgebung die ( x /2 1/2 + x /2) dann sind das Zahlen zwischen 0 1. Deshalb nennt man das Intervall (0 ein offenes Intervall . Dagegen ist das Intervall (0 1] offen denn "rechts" vom Element 1 (größer 1) ist kein Element des Intervalls (0 mehr.

Ob eine Menge offen ist oder hängt von dem Raum ab in dem liegt. Die rationalen Zahlen x mit 0 < x < 1 bilden eine offene Menge den rationalen Zahlen aber nicht in den reellen Zahlen.

Beachte dass der Begriff " abgeschlossene Menge " nicht das Gegenteil von "offene Menge" Es gibt Mengen die weder abgeschlossen noch sind wie das Intervall (0 1] und die beides sind wie die leere Menge. Mengen die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind als abgeschlossene offene Menge oder nach dem englischen Begriff als clopen Menge bezeichnet seltener als abgeschloffen .)

Der Begriff der offenen Menge lässt auf verschiedenen Abstraktionsstufen definieren. Wir gehen hier anschaulichen euklidischen Raum über den metrischen Raum zum allgemeinsten Kontext dem topologischen Raum .

Inhaltsverzeichnis

1 Euklidischer Raum 1.1 Definition 1.2 Erläuterung 2 Metrischer Raum 2.1 Definition 2.2 Offene Kugel 2.3 Beispiele 2.4 Eigenschaften 3 Topologischer Raum 3.1 Definition 4 Verwendung des Begriffs "Offene Menge": Inneres

Euklidischer Raum

Definition

Ist U eine Teilmenge des n -dimensionalen euklidischen Raums R ⁿ dann nennt man U offen falls gilt:

Für jedes x aus U gibt es eine reelle Zahl ε 0 so dass jeder Punkt y des R ⁿ dessen Abstand zu x kleiner ist als ε in U liegt.

Erläuterung

Beachte dass das ε vom Punkt x abhängt d.h. für verschiedene Punkte gibt verschiedene ε. Anschaulich ist die Menge der deren Abstand von x kleiner ist als ε eine Kugel und zwar nur das Innere ohne Oberfläche. Man nennt sie deshalb auch eine offene Kugel . (Im R ² ist diese Kugel das Innere eines Kreises .) Diese Kugel ist die in der angesprochene Umgebung von Punkten aus U .

Hier sollte noch ein Bild aus dem zur Veranschaulichung hin...

Metrischer Raum

Definition

Sei ( X d ) ein metrischer Raum und U eine Teilmenge von X . Dann nennt man U offen wenn gilt:

Für jedes x aus U gibt es eine reelle Zahl ε 0 so dass für jeden Punkt y aus X gilt: Aus d ( x y ) < ε folgt dass y in U liegt.

Auch hier hängt die Wahl von von x ab.

Offene Kugel

In Analogie zum euklidischen Raum nennt die Menge der Punkte y deren Abstand d ( x y ) zu x kleiner als ε ist eine offene Kugel . Formal schreibt man

B ( x r ) := { y in X | d ( x y ) < r }

Bei der offenen Kugel wird der bzw. die Hülle der Kugel nicht mit einbezogen: Alle y der Grundmenge X die zum Mittelpunkt x einen kleineren Abstand als den Radius r haben gehören zur Kugel. (Beachte die Artikel normierter Raum gegebenen Beispiele dass eine Kugel bezüglich Metrik nicht immer "kugelförmig" bzw. "kreisförmig" ist.)

Die Definition einer offenen Menge läßt nun so schreiben:

Sei ( X d ) ein metrischer Raum. Dann heißt eine U von X offen falls gilt:

<math> \forall {x \in U}: { \exist > {0} : B(x \varepsilon) \sub U</math>

Diese Definition ist eine Verallgemeinerung der fuer euklidische Räume denn jeder euklidische Raum ein metrischer Raum und für euklidische Räume die Definitionen überein.

Beispiele

Betrachtet man die reellen Zahlen R mit der üblichen euklidischen Metrik so die folgenden Beispiele offene Mengen:

• Das oben genannte offene Intervall (0 das sind alle Zahlen zwischen 0 und ausschließlich. Dieses Intervall ist auch ein Beispiel eine offene Kugel in R .
• R selber ist offen.
• Die leere Menge ist offen.
• Die Menge Q der rationalen Zahlen ist offen in Q aber nicht offen in R .
• Das Intervall (0 π ] ist nicht offen in R die Menge aller rationalen Zahlen x mit 0 < x ≤ π ist dagegen offen in Q .

Im R ² kann man sich offene Mengen vorstellen Mengen bei denen man den Rand weggelassen

Eigenschaften

Jede offene Kugel ist eine offene Der Beweis dazu wird veranschaulicht von nachfolgender Zum Punkt y ₁ der offenen Kugel B( x r ) findet man ein ε ₁ nämlich ε ₁ = r - d( x y ₁ ) so dass B( y ε ₁ ) ganz in B( x r ) liegt. Analog sieht man an dieser dass jede abgeschlossene Kugel abgeschlossen ist.

Der Durchschnitt von zwei offenen Mengen ist wieder offene Menge. Daraus kann man folgern dass Schnitt endlich vieler offener Mengen offen ist.

Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.

Topologischer Raum

Die offenen Kugeln in metrischen Räumen die einfachsten Beispiele von Umgebungen in der Topologie. Um offene Mengen einem noch allgemeineren Kontext zu definieren muss das Konzept der Kugel fallen lassen.

Bei der Definition eines topologischen Raumes X ist "Offenheit" ein grundlegender Begriff der durch seine Eigenschaften erklärt wird.

Definition

Wenn T eine Familie von Teilmengen von X ist mit den folgenden Eigenschaften:

Die leere Menge und die Grundmenge X sind Elemente von T

jede Vereinigung von Elementen von T ist selbst Element von T

der Schnitt endlich vieler Elemente von T ist Element von T

Diese Definition ist eine Verallgemeinerung der für metrische Räume: Die Familie T aller offener Mengen eines metrischen Raums X d ) ist eine Topologie so dass ( X T ) ein topologischer Raum ist.

Verwendung des Begriffs "Offene Menge": Inneres

Jede Teilmenge A eines topologischen (oder metrischen) Raumes X enthält eine (möglicherweise leere) offene Menge. größte offene Teilmenge von A nennt man das Innere von A ; man erhält es z.B. als Vereinigung offener Teilmengen von A . Beachte dass die Teilmengen offen in X sein müssen nicht nur offen in A . ( A selbst ist stets offen in A .)

Sind zwei topologische Räume X und Y gegeben dann ist eine Funktion f von X nach Y stetig falls jedes Urbild einer offenen Teilmenge von Y offen in X ist. Die Funktion f heißt offene Funktion wenn das Bild jeder offenen Menge ist.

Bücher zum Thema Offene Menge

Dieser Artikel von Wikipedia unterliegt der GNU FDL.