Oktave (Mathematik)

Die Oktaven auch Oktonionen oder Cayleyzahlen sind eine Verallgemeinerung der Quaternionen und besitzen das Mengensymbol O .

Jede Oktave kann dargestellt werden ...

... als 8er-Tupel von reellen Zahlen : ( r1 r2 ... r8 )

... als 4er-Tupel von komplexen Zahlen : ( c1 c2 c3 c4 )

... als geordnetes Paar von Quaternionen : ( h1 h2 )

Der Körper der reellen Zahlen R kann als Unterstruktur von O betrachtet werden:

Für alle Zahlen r aus R gilt: r entspricht ( r 0 0 )

Der Körper der komplexen Zahlen C kann als Unterstruktur von O betrachtet werden:

Für alle Zahlen c aus C gilt: c entspricht ( c 0 0 )

Der Schiefkörper der Quaternionen H kann als Unterstruktur von O betrachtet werden:

Für alle Zahlen h aus H gilt: h entspricht ( h 0

Für die Oktaven sind Addition und so definiert dass sie abwärtskompatibel sind d.h.

... für alle reellen Zahlen r s gilt:

r + s = ( r ... 0 ) + ( s 0 0 )

r * s = ( r ... 0 ) * ( s 0 0 )

... für alle komplexen Zahlen c d gilt:

c + d = ( c 0 0 ) + ( d 0 0 )

c * d = ( c 0 0 ) * ( d 0 0 )

... für alle Quaternionen h und gilt:

h + i = ( h ) + ( i 0 )

h * i = ( h ) * ( i 0 )

Die Oktaven bilden mit der definierten und Multiplikation eine Divisionsalgebra jedoch keinen Schiefkörper (und damit auch Körper). Die beiden folgenden Regeln sind daher Oktaven NICHT allgemeingültig:

Kommutativgesetz der Multiplikation: o * p = * o

Assoziativgesetz der Multiplikation: o * ( * q ) = ( o * ) * q

o * ( o * p = ( o * o ) * und o * ( p * p = ( o * p ) *

Bücher zum Thema Oktave (Mathematik)

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